化繁为简考研线性代数专题全讲

　

专题5：正交合同法求二次型的标准形

写作过程： 这是邹老师写的最后一个专题，因为它没什么难总结得东西，反而觉得最难落笔，懒懒散散的，就将它放在最后收官吧！

写作特色：本专题的特色就是最没有特色！哎，前面6个专题够有特色啦，就让这个专题没有特色吧！

     内容提要 二次型的概念及其矩阵表示、二次型的标准型与规范形、二次型标准型的应用、二次型的正定性及其判断.
    “化繁为简”导读 二次型的标准型的求法是本课程除解线性方程组之外的唯一的一个应用.大家不仅要掌握有关二次型的基本技能,比如二次型通过合同变换或者正交变换化标准型，二次型正定性的判断等，而且要通过二次型的标准型的求法体会矩阵解决问题的妙用！最后我们也要通过化二次型的标准型体会代数中将复杂问题化为简单化的方法.化二次型为标准型我们往往用“正交合同法”,即通过正交的合同变换(通常就称为正交变换),将二次型化为标准型,用正交的合同变换至少有两样好处:第一,在正交变换下,合同变换等价于相似变换，因此特征值不变；第二,正交变换保持向量的“度量”不变. 正是因为有这些好处，所以大家不要怕麻烦，用正交变换将二次型化为标准型，在做证明题时，只要有可能，尽可能先通过正交变换将二次型化为标准型再说，这样做一般不会犯错误.
  

　

    

　

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                                                            邹老师

                                                            2014.11.25