化繁为简考研线性代数专题全讲

　

 专题3：变量定数法判断向量组的线性相关性与秩

写作过程：这是邹老师写的第4个专题，此专题针对的是向量，是本课程中较难的部分，由于我们在此部分理论相当熟悉，所以写起来并不感觉太难。

写作特色：本专题将向量的特性总结得很深刻。线性代数中核心定理大都在向量的部分，我们将一些特别难得综合性强的定理放在最后综合题专题7来写，而将相对单纯的部分在此专题，这样分成两个阶段，让大家跟家容易接受。

    内容提要 向量组的线性相关及线性无关、向量组的线性表示、向量组的等价、向量组的秩与极大无关组、向量空间的概念与判断、向量空间的基与维数.
  “化繁为简”导读 前面的专题说过，向量就是一种特殊的矩阵，反过来也可以说，矩阵是一种特殊的向量.由此可见，线性代数的两个工具可以说就是一个工具！向量组的线性相关性是一个很重要的概念，它告诉我们一个道理：就是向量组中的向量不全是“独立”的，有的向量可以用其它向量线性表示，我们可以形象地将可以被其它向量线性表示的向量称为“多余”的，因此，我们只要研究那些“不多余”的向量，就可以在抓住向量组的核心.因此本部分的目的就是一个：去除“多余”的，保留“有用”的.还要注意向量有一个特点，就是“一个萝卜一个坑”，意思是虽然向量组中的最大无关组的元素不是确定的，但是其个数（坑）却是确定的.最大无关组之间、最大无关组与原向量组之间是等价的，因此研究向量组与矩阵应用，都是基于等价的原则。因此在思考有关向量的问题时常常记住这两个原则将很有用，我们总结的“变量定数法”的奥妙也就在于此.
 

　

    

　

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                                                            邹老师

                                                            2014.11.25