证明题的证法之高代篇
高等代数的证明题常常会找不到北，结论有时也好像莫名其妙。但是这样最考验一个人的推理的“内功”。高等代数比数学分析逻辑性更加紧密，整个高等代数的体系就是铁板一块，结构性很强，做它的证明题很锻炼人。常规的高代的证明方法当然还是要记住。但是遇到难题一定要打破框框，不要局限自己，只要是符合逻辑的就大胆去想。我们就高代的证明题的证法讨论一下思考的规律。
一、高等代数的证明题的特点
1. 往往给出的条件很抽象，但是结合概念，根据纯粹的逻辑推理，可以得到一些性质，这些性质用具体的题目套用验证，丝毫不错！
例：设A是n阶矩阵,t是复数.证明:当复数的模|t|充分大时,tE+A是可逆矩阵。
提示：令|tE+A|>0反推，利用数学分析。
2. 往往计算并不复杂，符号也不多。但是其中用的概念环环相扣，我们发现最终都是考概念。
例：
3. 和数分一样，常常用“任意”和“存在”这样的逻辑用语。设条件时也常常用它。也正是有这样的逻辑词，同学们做证明题时很不适应。
例：
矩阵
的秩为
，证明：存在
列满秩矩阵
和
行满秩矩阵
，使得
提示：A初等变换化标准型，然后据初等矩阵与初等变换的关系。关键将标准型拆解。
4. 高代往往关心的是事物间的“运算”的联系，它将具体的各类运算抛开具体的形式，关心其实质的代数结构，因此可将许多看似千差万别的事物看成“一类”。只要研究其一，便知其二。典型的是：研究了Pn即可以明白所有数域P上的n维向量空间。
例：设
与
为欧氏空间V的两组向量。证明:如果
,
则子空间
同构。
提示：找出同构映射. 
.
二、高等代数具体解题思路
1.高等代数1中，最关键的是要掌握线性方程组、向量组、矩阵之间的紧密联系。三者之间互为工具，相得益彰。而具体实现的方法往往要通过矩阵的灵活地分块。实际上，矩阵的行（列）向量组就是矩阵的典型分块。
例：设A为s×n矩阵，B为n×t矩阵，AB=O，证明：秩A+秩B≦n
提示：考虑方程组Ax=O.
2.关于化简问题，有这么几个方面：
1）将矩阵通过初等变换化三型（阶梯、行最简、标准）。
2）将二次型通过合同变换（或正交变换）化标准型。
3）将矩阵通过相似变换化若当标准型（对角型）。
这几个方面用于证明题，起的作用都是将复杂的问题简单化，这也是一般证明的思路。但是要注意三种变换保持的是哪一种性质不变，初等变换保持秩不变而不能保持特征值不变，相似变换保持特征值不变也同时保持了秩不变，但是它对变换的要求高，用的场合不同。
例：设A为n阶实对称阵，证明：存在足够大的实数t，使得tE+A为正定阵。
提示：对A用正交变换化对角形，然后tE+A用同样的正交变换。
例：设为一个
阶方阵且的秩等于
的秩。证明的秩等于
的秩。
提示：利用若当标准型。
3.利用矩阵的运算和矩阵的初等变换之间的关系。矩阵的运算与矩阵的初等变换看起来是不相干的，但是通过初等矩阵将它们紧密联系起来了，因此解决问题思路更加开阔。
例：证明:秩为r的矩阵总可表为r个秩为1的矩阵之和。
提示：先将矩阵化标准型，标准型易化为和的形式。在利用初等变换与初等阵的联系。
4.高等代数2中，最关键的在于将抽象的线性空间与线性变换的问题转化成向量和矩阵的问题来解决。这是一般的思路，符合数学解题的总原则。
例：设
是数域上维线性空间，证明：的与全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。
提示：确定基后，将变换对应矩阵。
5.高等代数2的线性空间与线性变换，其中“基”的作用重大，它将空间的无数个元素可以通过有限个元素就可以表示出来，无数个元素的运算也可以通过有限个元素的运算表示出来，无数个元素的对应可以通过基的对应表示出来！大家证明题目时要细心体会进而灵活运用。
例：设
是有限维线性空间的线性变换，
是的子空间，
表示由中向量的像组成的子空间，证明：
.
提示：
中取一组基，再扩充。
6.欧氏空间实际上就是引入了“度量”的一种特殊的线性空间。通过度量，尤其是正交，线性空间中的许多性质变得简洁而奇妙。典型的是标准正交基，它里面元素互相正交，即同时线性无关，它可以做“旋转”、也可以做“反射”，“几何”和“代数”互相联系，相得益彰。
例：证明：维欧氏空间与
同构的充要条件是，存在双射
，并且
有
．
提示：只要证明保持加法与数乘运算。
三、高代的常规解证明题的方法
1.
证明向量组线性无关（相关）：先设向量的线性组合为零，然后将系数作为未知量来讨
论解的情况，仅零解说明线性无关，有非零解说明线性相关。
2.
证明俩向量组等价：1）俩向量组对可以相互线性表示；
2）向量组1可以被向量组2线性表示且等秩；
3.
证明两个子空间的和是直和：1）子空间的交集为{0}； 2）0的表示法唯一。
4. 证明特征值：1）对应特征多项式为零 2）利用概念。
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邹群