证明题的证法

   刚进入大学校门的同学，对大学的数学课程的证明很是头痛。尤其是数学专业的同学，许多课程必须要懂得证明的

方法，数学专业的考研，更是证明题为主体。那么如何做证明题呢？下面我将系统地给大家说说。

一、证明的必要格式以及表达：

   许多同学些证明题的时候，格式以及表达都有很大问题。大家必须重视，一者，表达不清别人看不懂，二者，表达

不清也反映了自己的思路不清！这方面的训练实际上也可以提高自己的思辨水平。切不可小视。

1. 每一步都要有根据。根据必须是：公理、定理或公式。（不一定要写出是哪一个定理）

2. 新出现的符号一定要有交代。切不可随意写一个新符号，自己明白，别人一头雾水。

3. 证明概念一定要先设出概念需要的条件。

4.设出的前提要符合实际。比如要证明B，你设C成立，但是C到底成不成立尚且需要验证，那么你的证明是无效的！还有

C根本不可能存在也不行！

二、证明的基础

1.证明的过程既是逻辑推导的过程，因此整个过程的关键就是符合逻辑，不能乱来。比如最基本的有：

（1）演绎：定理中普通性的结论，可在特殊情况下用之，只要这个特殊情况包括在普通情形中。但是特殊的结论却不能直接推导到普通情形！

（2）归纳：由许多特殊的情形推导到普通性的结论。此时总体有两种方式：一种是穷举所有特殊的情况。例如要证明一

个结论在所有实数都成立，我们可以分x>0,x=0,x<0三种情况证，三种情况都成立的话，即可断定在所有实数成立。另一

种是不能穷举时，先给出特殊情况的结论，然后其它情形运用该数学逻辑形成逻辑链，自然就证明出了所有情形。典型

的就是数学归纳法。

    千万不要用特殊的结论代替一般的结论！

（3）必要、充分和充要条件：若条件A可以推出结论B，则称A是B的充分条件，也可以称B是A的必要条件，换句话说，就

是A要成立，B必须成立（或称必须有B做前提），但不等于B成立了就有A成立！若条件A成立当且仅当B成立，则称A是B的

充分必要（充要）条件，因为A与B可以互推。

     运用定理时，一定要分清条件是哪一种，否侧就会乱用。

(4)原命题、逆命题、否命题和逆否命题。如A推导至B是原命题，则B推导至A是逆命题，否定A推导出否定B是否命题，否

定B推导出否定A是逆否命题。原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。也就是说，告诉你原命题成立，相当于告

诉了你逆否命题成立。告诉你否命题成立，相当于告诉了你逆命题成立。

（5）否定“A推导至B”，只需要将符合A的一种特例导致B不成立即可驳倒。

 

2. 基本推导次序：

  1）已知条件à结论；     

 2）已知条件à中间结论à结论；

  3）逆否命题推导：否定结论à否定条件。

  4）反证法：否定结论à中间结论1  结论à中间结论2

     中间结论1与中间结论2矛盾。

3.避免循环论证：比如要证明B成立，但是你用到的“条件”A需要B成立作为前提才成立，那么你用A去证明B，就是循环

论证了！用通俗的话说，就是自己证明自己，自圆其说不行！

 

提高篇：

1.先掌握常规证明方法。常规的证明要先理解。书上给出的例题与定理的证明许多都闪耀着智慧之光，要善于模仿吸

取，要体会其妙处。模仿是提高的基础。

2.重视思辨，不唯书：跳出书之外。自己对着书或习题反复问：为什么要这样证？结果为什么是这样？不这样行不行？

在一正一反反复思辨下找到路径。

3.有时先不一定要急于得到结论，先好好“欣赏”一下题目，从题目中联想到许多易推出的结论。这样，但真正开始思

考时就有了很多路可想。

4.  有时可以拿出些特例来“感觉”一下结论。虽然特殊不能代替一般，但是从特殊的例子可以感觉到一般，不经意

间，就会从特例中找到灵感，获得一般性的结论。当然，最后严格的证明不可少。

5.  多类比。数学中很多思想与形式是相通的。我们在熟悉经典的过程中，也储存了很多信息，当题目中的信息与储存

的信息有相似时，要积极抓住不放，敢于联想，敢于嫁接。不经意间答案就出来了。

6．大胆想象。大胆联想，想象一些中间结论。虽然不一定成功，但是投石问路，或许就成了，实际上教材中许多的定理

都是先从假设而来！

7.借助形象思维。数学太抽象了！能借助形象就借助形象。比如证明n维向量，可以用3维向量来思考（3维可以画出图

像）。

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                                                   邹群