一.复数域上一个线性空间的内积
定义14 设V是复数域上一个线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为内积,记作,它具有以下性质:
1) ,是的共轭复数;
2) ;
3) ;
4) 是非负实数,且当且仅当
例:在线性空间中,对向量
定义内积为, (1)
显然内积(1)满足定义14中的条件.这样就成为一个酉空间.
二.酉空间的重要结论(不证)
1) .
2) .
3) 叫做向量的长度,记为.
4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立,即对于任意的向量有,
当且仅当线性相关时等号成立.
注:酉空间中的内积一般是复数,故向量之间不易定义夹角但仍引入:
5) 向量,当时称为正交的或互相垂直.
在n维酉空间中,同样可以定义正交基和标准正交基,并且关于标准正交基也有下述一些重要性质:
6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充为一组标准正交基.
7)对n级复矩阵A,用表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足,就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.
两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.
8) 酉空间V的线性变换A,满足(A,A)=(,),就称为V的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
9)如矩阵A满足则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间中令
A
则(A,)=(,A).A也是对称变换.
10)V是酉空间,是子空间,是的正交补,则
又设是对称变换的不变子空间,则也是不变子空间.
11)埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.
12)若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使是对角形知阵.
13)设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数
叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C,当时X=CY
.
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