§5子空间   <<返回

一．正交的子空间

1．定义10 设是欧氏空间V中两个子空间.如果对于任意的，恒有

.则称为正交的，记为.一个向量，如果对于任意的，恒有.则称与子空间正交，记为.

2.结论：由可知；由,可知.（因为只有零向量与它自身正交）

3．定理5 如果子空间两两正交，那么和是直和.

证明：只要证明0的表示法唯一，直接两边作内积。

二．子空间的正交补

1．定义11  V₁ 与V₂ 均为V 的子空间。子空间称为子空间关于V的一个正交补，如果，并且.的正交补记为

注:1.如果是的正交补，那么也是的正交补.2. 由定义可知，所以维（）+维（）=

2．定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补.

证明：（1）如。。。。。。

（2）证明存在性通过将的正交基扩充成V的正交基立刻可以证明。

    唯一性用同一法，证明两个正交补的集合相等。（用内积）

推论 恰由所有与正交的向量组成。

证明：据概念容易证明与正交的向量在中，再据定理6中的唯一性，只要证明所有与正交的向量构成欧氏空间。

3．由分解式可知，V中任一向量都可以唯一分解成

其中.称为向量在子空间上的内射影.

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