§4正交变换    <<返回

一．定义9欧氏空间V的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有,都有.(A,A)=.

正交变换可以从几个不同方面加以刻画.

注：正交变换可大致地看成空间向量的“旋转”，空间中“图形”的“形状”不变。

二．判断正交变换的四个等价命题

定理4 设A是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：

1）A是正交变换；

2）A保持向量的长度不变，即对于,|A|=||;

3）如果是标准正交基，那么A , A ,…, A 也是标准正交基；

4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

证明：先证明1）与2）等价。

    将正交变换的概念中改成即可证明1）-2），反之，将

              （ A，A）=（，）

展开，再利用2）即可证明2）-1）

    再证明1）与3）等价。

    1）-3）据概念即可证明。3）-1）：

    只要在空间中任取两个向量，分别用两组基下表示出来，再验证即可。

    最后证明3）与4）等价。

    由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。

三．正交变换的性质

1.正交变换是可逆的.( 由上面的4)与正交矩阵是可逆的)

2.正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换.

   由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射

在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因而，正交阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.

    四.两类正交变换

如果A是正交矩阵，那么由可知或者.因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.

例在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换A为：

A  A .

那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.

例1 设（中线性变换的全体）,令

.

则是的一个正交变换.

（看基的对应关系）

例2将的每一向量旋转一个角的正交变换关于的任意标准正交基的矩阵是

.

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