§3  同构   <<返回

一．概念

定义8 实数域R上欧氏空间V与称为同构的,如果由V到有一个双射，满足

1),       2),

3),

这里，这样的映射称为V到的同构映射.

注：欧氏空间的同构首先是线性空间的同构。

二.同构空间的性质

1)同构的欧氏空间必有相同的维数.

注：由定义，如果是欧氏空间V到的一个同构映射，那么也是V到作为线性空间的同构映射.

2)每个n维的欧氏空间都与同构.

设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基，在这组基下，V的每个向量都可表成

令就是V到的一个双n射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，也适合条件3)，因而是V到的一个同构映射.

3)同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.

4)定理3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.

 既然每个n维欧氏空间都与同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构.

注：这个定理说明，从同构意义下看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.

 瀚海代数精品课程网资源  （需要原word文档请联系：nchy_zouzij@163.com）