§1定义与基本性质   <<返回

一、向量的内积

定义1 设V是实数域R上一个向量空间,在V上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:

1) ;               2) ;

3) ;    4)  ,当且仅当时,

这里是V任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间.

例1 在线性空间中,对于向量,

定义内积                        (1)

则内积(1)适合定义中的条件，这样成为一个欧几里得空间.仍用表示.

在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.

例2 在里, 对于向量,定义内积

则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示它

注：对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.

例3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积.                                 (2)

对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.

同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.

二、欧几里得空间的基本性质

1）定义中条件1）表明内积是对称的.

.

三．向量的长度与夹角

   （一）长度

1．定义2 非负实数称为向量的长度，记为.

显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：

                                  (3)

这里.

长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.

2．柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有

                                 (5)

当且仅当线性相关时，等式才成立.

证明：=0时显然，下设。

    令（t为实变量）由此得。展开后取即可证明出所需结论……

例：对于例1的空间，(5)式就是

对于例2的空间，(5)式就是

（二）夹角

1．定义3 非零向量的夹角规定为

.（根据柯西-布涅柯夫斯基不等式）

3．定义4 如果向量的内积为零，即

那么称为正交或互相垂直，记为.

注：（1）两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.

（2）只有零向量才与自己正交.

4．勾股定理：当正交时，

推广：如果向量两两两正交，那么

.

四．度量矩阵

 1．设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基，令                  (8)

矩阵称为基的度量矩阵

2．度量矩阵的作用：度量矩阵完全确定了内积.

设V，同上，对于V中任意两个向量

,,

由内积的性质得

显然于是                        (9)

利用矩阵，还可以写成,                            (10)

其中分别是的坐标，而.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算。

3．不同基的度量矩阵的关系

设是空间V的另外一组基，而由到的过渡矩阵为C，即于是不难算出，基的度量矩阵

.                        (11)

这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.(书中习题11)

   4．度量矩阵与正定矩阵的关系

根据条件(4)，对于非零向量，即有因此，度量矩阵是正定的.

反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基.可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是A.

5．欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧几里得空间.

欧几里得空间以下简称为欧氏空间.

例：在  中（内积按通常定义）求与向量   和   均正交的向量的全体。它们能否构成   的子空间？求它的基与维数。

       瀚海代数精品课程网资源  （需要原word文档请联系：nchy_zouzij@163.com）