§3 不 变 因 子    <<返回

现在来证明，矩阵的标准形是唯一的.

一．矩阵的行列式因子

1．定义5 设矩阵的秩为r，对于正整数，中必有非零的k级子式. 中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式称为的k级行列式因子.

注：由定义可知，对于秩为r的矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.

2．定理3 等价的矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.

证明：只要证明，矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。

针对初等行变换分三种情况讨论：

1）2）两种情形比较简单，3）的情形，又分为两种小的情形：

第一种：包含i行与j 行的字式,与不包含i行的子式，行变换后对应相等。

第二种：包含i行但不包含j行的子式，将变换后的子式分为两部分…..

对初等列变换类似可以证明……

3．标准形矩阵的行列式因子.

设标准形为

                                  (1)

其中 是首项系数为1的多项式，且.因为标准形仅主对角线上的元素有非零元。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零.因此，为了计算k级行列式因子，只要看由行与列组成的k级子式就行了，而这个k级子式等于

显然，这种k级子式的最大公因式就是

二．定理4 矩阵的标准形是唯一的.

证明 设(1)是的标准形.由于与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;的k级行列式因子就是.                 (2)

于是

.           (3)

这就是的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被的行列式因子所唯一决定的，所以的标准形是唯一的.

三．不变因子

1．定义6 标准形的主对角线上非零元素称为矩阵的不变因子.

2．定理5 两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.

证明： 等式（2）与（3）给出了矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系。从此可见，行列式因子与不变因子是相互确定的。…….

必要性即定理3。

    充分性：若矩阵与有相同的不变因子，据定义6与定理4，则与和同一个标准形等价，因而与等价。

注：由(3)可以看出，在矩阵的行列式因子之间，有关系式

.                 (4)

在计算矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.

四．矩阵是可逆的充要条件

定理6 矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.

证明：设为一个可逆矩阵，由定理1知,其中d是一非零常数，这就是说于是由(4)可知，从而因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵，使

特别是，当时，就得到要证明的结论。

推论 两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使.

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