§1 矩阵   <<返回

在这一章讨论矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.

一．基本概念

1．设P是数域，是一个文字，作多项式环，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即的元素，就称为矩阵.

2．以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用等表示矩阵.

3．矩阵的加法与乘法（与数字矩阵的运算有相同的运算规律）…

4． 矩阵的行列式.矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.

二．矩阵的秩与可逆性

1．定义1 如果矩阵中有一个级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为r.零矩阵的秩规定为零.

2．定义2 一个的矩阵称为可逆的，如有一个的矩阵使

,                           (1)

这里E是单位矩阵.适合(1)的矩阵(它是唯一的)称为的逆矩阵，记为..

3．定理1 一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是非零的数.

证明：与数字矩阵的证明方法完全相同……

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