§2  线性变换的运算     <<返回

一、线性变换的乘法

1．设A,,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为.(AB)()= A,(B ())     ().则线性变换的乘积也是线性变换.

2．线性变换的乘法适合的运算律：结合律，即(AB)C=A(BC).

注：线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换

D（）=.      ℐ（）=

的乘积D ℐ=ℰ，但一般ℐD≠ℰ.      对于任意线性变换A，都有Aℰ=ℰA = A.

二、线性变换的加法

1．设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为：(A+B)()= A ()+B () ().  则线性变换的和还是线性变换.

2．线性变换的加法的性质

（1）线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+C.       A+B=B+A.

（2）对于加法，零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A：A+ℴ=A.

（3）对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）：(-A)()=- A ()    ().

则负变换（-A）也是线性变换，且A+（-A）=ℴ.

（4）线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC，  (B+C)A=BA+C

三、线性变换的数量乘法

1．数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为kA =KA即kA()=K(A ())=KA (),当然A还是线性变换.

注意：数量乘法定义中k与K的区别！

2．数量乘法的运算律：

（1）(kl)A=k(lA), （2） (k+l)A=kA+lA,

（3）k(A+B)=kA+kB,  （4） 1A=A.

3．重要结论：线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成P上一个线性空间.

    四．线性变换的逆

V的变换A称为可逆的，如果有V的变换B 存在，使AB=BA=E.这时，变换B称为A的逆变换，记为A.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A也是线性变换.

五．线性变换的多项式

1．幂：既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n个（n：正整数）线性变换A相乘时，可以用

来表示，称为A的n次幂，简记为A.作为定义，令A= E.

2．根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：A=AA,(A)=A

3．当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为A=(A)(是正整数).

注：线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(AB)AB.（想一想是为什么）

4．设是P[x]中一多项式，A是V的线性变换，定义

(A)=A+A+…+E

显然(A)是线性变换，它称为线性变换A的多项式.

5．线性变换的多项式的运算规律

不难验证，如果在P[x]中那么

(A)=( A)+( A), (A)=( A)( A).

特别地，              (A)( A)=( A)( A).

即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.

例1 1）在三维几何空间中，对于某一向量的内射影是一个线性变换. 可以用下面的公式来表示：.其中表示向量的内积.

2）从图2不难看出，在以为法向量的平面x上的内射影可以用公式

表示.因此ℰ-.这里ℰ是恒等变换.

对于平面x的反射ℛ也是一个线性变换，它的像由公式ℛ

给出.因此ℛ=ℰ-2.

设是空间的两个向量.显然，与互相垂直的充要条件为ℴ

例2 在线性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示.显然有Dℴ.其次，变换的平移也是一个线性变换，用ℐ表示.根据泰勒展开式

,

因之ℐ实质上是D 的多项式：ℐ=ℰ+D+D+…+D.

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