§1 线性变换的定义    <<返回

一、线性变换的定义

定义1  线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素和数域P中任意数k，都有

A ()=A ()+A ();      A()=A().                          （1）

用花体拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A ()或A代表元素在变换A下的像.

   注：线性变换与同构映射的关系：当线性变换为双射时，它为同构映射。

例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转角，就是一个线性变换，用ℐ表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是，那么像ℐ()的坐标，即旋转角之后的坐标是按照公式

.

来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.

例2 设是几何空间中固定非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是线性变换，以表示.用公式表示就是.这里表内积.

例3 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即E以及零变换ℴ，即ℴ都是线性变换.

例4 设V是数域P上的线性空间，，定义V的变换如下：.

这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换.

例5 在或者中，求微商是一个线性变换.用D代表，即D（）=.

二、线性变换的性质

1. 设A是V的线性变换，则A (0)=0, A ()=-A ().

2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变：如果是的线性组合：

,

那么经过线性变换A之后，A ()是A (),A (),…, A ()同样的线性组合：

A ()=A ()+A ()+…+ A ()

又如果 之间有一线性关系式

那么它们的像之间也有同样的关系式 A ()+A ()+…+ A ()=0.

3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.

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