§7 子空间的直和    <<返回

一.定义9 设是线性空间V的子空间，如果和中每个向量的分解式

是唯一的，这个和就称为直和，记为.

二.直和的判断和维数

1.定理8 和是直和的充要条件是等式只有在全为零时才成立.

证明：必要性易证；充分性用同一法……

推论 和是直和.

2.定理9 设是线性空间V的子空间，令，则

维()=维()+维().

证明：只要用到上一节定理7与此节定理8立即可得……

3.定理10 设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使.

证明：将U的基进行扩张……

三.子空间的直和的概念的推广.

1.定义10 设都是线性空间V的子空间，如果和中每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为.

2.定理11 是线性空间V的一些子空间，下面这些条件是等价的：

1）是直和；   2）零向量的表法唯一；

3）;   4）维()=

注：定理11的证明与S=2的情形的证明基本一样……

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