第 六 章                           
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一.子空间的交

1.定理5 ,是线性空间V的两个子空间,则它们的交也是V的子空间.

证明:根据上一节定理2,证明两个封闭性……

2.子空间的交适合下列运算规律

(1)(交换律) (2)(结合律).

3.推广:由结合律,可以定义多个子空间的交,它也是子空间.

思考:子空间的并为何不行?

    非子空间


.子空间的和

1.定义8 ,是线性空间V的子空间,所谓,是指由所有能表示成,的向量组成的子集合,记作.

2.定理6 如果,是线性空间V的子空间,那么它们的和也是V的子空间.

证明:与定理5的证明方法一样……

3.子空间的和适合下列运算规律:

(1)(交换律)  (2)(结合律).

4.推广:多个子空间的和.它是由所有表示成

的向量组成的子空间.


.关于子空间的交与和有以下结论:

1. 都是子空间,那么由可推出;而由可推出.

2. 对于子空间,以下三个论断是等价的:

1 2) ;  3) (给同学们自己练习)

1 在三维几何中用表示一条通过原点的直线,表示一张通过原点而且与垂直的平面,那么,的交是,而的和是整个空间.

2 在线性空间中,用分别表示齐次方程组

    

的解空间,那么就是齐次方程组的解空间.

 

 

 

3 在线性空间V中,有

证明:只要证明集合相等即可。

3.两个子空间的交与和的维数.

定理7(维数公式)如果是线性空间V的两个子空间,那么

维(+维(=维(+维(.

证明:先设 的维数。然后设出的一组基.将此基分别拓展成 的基:

    下面只要证明T:的一组基。

     1)易证T 能表示2)证明T线性无关。这里有一点技巧:设有等式:

.由上面等式易见

 设出的表达式后可消去……

推论 如果n维线性空间V中两个子空间的维数之和大于n,那么必含有非零的公共向量.


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