§5 线性子空间    <<返回

一、线性子空间的概念

1.定义7 数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间（简称子空间），如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间.

2.线性空间V的子集W成为线性子空间的条件（对照线性空间的定义）：

1）、W关于“数乘”封闭       2）、 W 关于“加法”封闭

3）、0在W中                 4）、若在W 中,则在W中.

3.定理2  如果线性空间V的一个非空集合W对于V两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1），2），那么W就是一个子空间.

证明：只要证明上面1）与2）蕴涵3）与4）。

既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.

例1 线性空间中由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.

例2 线性空间V本身也是V的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.

例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.

例4 是线性空间的子空间.

例5 在线性空间中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，

叫做齐次线性方程组的解空间.其基就是方程组的基础解系，其维数等于n-r，其中r为系数矩阵的秩.

    能否举出一个不是子空间的例子？

二、生成子空间

1.设是线性空间V中一组向量，这组向量所有可能的线性组合

所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，这个子空间叫做由生成的子空间，记为.

由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含作为子空间.

2．在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W是V的一个子空间，W当然也是有限维的.设是W的一组基，就有.

3.定理3  1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）的维数等于向量组的秩.

证明：1）根据等价的定义，子空间的定义与等价的传递性易得。

      2）先设出向量组的秩与极大无关组，然后用1）的结论。

4.定理4 设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，是W的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到n-m个向量使得是V的一组基.

证明：对维数差用数学归纳法。归纳时在的基础上先增加一个向量使之仍无关……

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