§1 集合·映射   <<返回

一、集合

1． 集合：指作为整体看的确定的事物.组成集合的事物称为这个集合的元素.用a∈M（）表示a是（不是）集合M的元素，读为：a属于（不属于）M.不包含任何元素的集合称为空集，记作.

2．集合的描述法：（1）列举法…（2）描述法…

设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成.

3．集合的相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a∈M当且仅当a∈N ，那么它们就称为相等，记为M=N.

4．子集合：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N，那么M就称为N的子集合，记为或.

结论：两个集合M和N如果同时满足和，则M和N相等.

5．集合的两种运算：（1）集合的交：=

（2）集合的并：=

二、映射

1．概念：设M和M′是两个集合，所谓集合M到集合M′的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M′中一个确定的元素a′与之对应.记为,

a′就为a在映射下的像，而a称为a′在映射下的一个原像. 设同上，用代表M在映射下像的全体，称为M在映射下的像集合.显然.

M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换. 集合M到集合M′的两个映射及，若对M的每个元素a都有则称它们相等，记作.

2．注意：

1）对于M中每个元素a，需要有M′中一个唯一确定的元素a′与它对应；

2）M′中元素不一定都是M中元素的像；3）M中不相同元素的像可能相同；

例1  M是全体整数的集合，M′是全体偶数的集合，定义,这是M到M′的一个映射.

例2  M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义.这是M到P的一个映射.

例3 对于,定义.这是P[x]到自身的一个映射.

例4 设M，M′是两个非空的集合，是M′中一个固定的元素，定义.这是M到M′的一个映射.

例5 设M是一个集合，定义.即把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为.

例6 任意一个定义在全体实数上的函数y=f(x)都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.

3．满射，单射和双射

（1）如果，映射称为映上的或满射.

（2）如果在映射下，M中不同元素的像也一定不同，即由一定有,那么映射就称为1-1的或单射.

（3）一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射.

4．映射的乘法和逆映射：

(1)映射的乘法：设及分别是集合M到M′，M′到M″的映射，乘积定义为，是到M″的一个映射.

映射乘法的性质：1）对于集合M到M′的任何一个映射都有.

2）映射的乘法适合结合律.设分别是集合M到M′，M′到M″，M″到的映射，映射乘法的结合律就是.

3）如分别是M到M′，M′到M″的双射，则就是M到M″的一个双射.

(2) 逆映射：对于M到M′的双射可定义它的逆映射，记为.定义.

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