§4 正定二次型   <<返回

一、正定与半正定二次型

1.定义4 是实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数

(1)都有.称为正定的

(2) 都有,那么称为负定的

(3) 都有，那么称为半正定的

不定的…….

2.定义5  实对称矩阵A称为正定的，如果二次型正定.

3.几个基本的结论

(1)实二次型是正定的当且仅当.

(2)非退化实线性替换保持正定性不变.

分析:设实二次型

               (1)

是正定的，经过非退化实线性替换                                   (2)

变成二次型                    (3)

则的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数都有.

因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换变成二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.

二、正定与半正定二次型的判别

1.       法一

定理6 实数域上二次型是正定的它的正惯性指数等于.

证明:只要将二次型化成标准型即可看出……

定理6说明，正定二次型的规范形为

                                                  (5)

因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵，所以实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.

推论 正定矩阵的行列式大于零.

证明:根据正定矩阵与单位矩阵合同……

2.法2

(1)定义6 子式称为矩阵的顺序主子式.

(2)定理7  实二次型是正定的矩阵的顺序主子式全大于零.

证明:必要性:注意到k阶顺序主子式对应实二次型中均为零的情况……

充分性:对n用数学归纳法:第二步n元二次型时,证它与单位矩阵合同.

    据归纳假设对n-1阶主子式,有可逆的n-1阶矩阵G,使.令

再令其中(关键!)此时有

……

例  判定二次型是否正定.       (正定)

3.负定二次型的判别:是正定的.

4.半正定的判别

定理8 对于二次型，其中是实对称的，下列条件等价：

（1）是半正定的；

（2）它的正惯性指数与秩相等；

（3）有可逆实矩阵，使其中；

（4）有实矩阵 使                   .

（5）的所有主子式皆大于或等于零；

注:在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如

就是一个反例.

证明  设的主子式全大于或等于零，是的级顺序主子式，是对应的矩阵            

其中 是 中一切 级主子式之和，由题设 ，故当 时， ， 是正定矩阵.

若不是半正定矩阵，则存在一个非零向量，使

令           

与 时 是正定矩阵矛盾，故 是半正定矩阵.

Th8 记的行指标和列指标为的级主子式为，对应矩阵是，对任意，有,其中

又是半正定矩阵,从而 .

若，则P234,12T，存在使与矛盾，所以.

◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.

◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.

证明 是实对称矩阵，令，则是维实向量

  是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.

◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.

证明 由于正定，存在可逆矩阵，使,,从而为正定矩阵.正定

又正定， ,正定,正定.对称

当时，,从而正定.

当时,

所以与合同，因而正定.

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