§2 标准形    <<返回

一、二次型的标准型

1.       二次型经过非退化线性替换所变成的平方和形式             .                                                        （1）

称为的标准形.

2.       定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.

证明:用中学所学的“配方法”证明.对n用数学归纳法.

第二步,分三种情形讨论:1)中至少一个不为零,设.先将含的项配方后成平方的形式,余项不含.再用线性替换将平方项替换…2)所有为零,但至少有一个,设.此时先设,变出平方和后同1)…3)含的系数全为零.据归纳假设直接得…

易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，

反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此定理1可以叙述为：

定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.

例1 化二次型为标准形.

(结论:.)

例2  完全用矩阵的方法做上题…….

二、配方法

1.这时的变量替换为

令                      ,

则上述变量替换相应于合同变换.为计算 ，可令

.

于是和可写成分块矩阵        ,这样

矩阵 是一个 对称矩阵，由归纳法假定，有 可逆矩阵 使 为对角形，令,于是

,

这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.

2. 但只有一个.

这时，只要把 的第一行与第 行互换，再把第一列与第 列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取

行

显然  .矩阵 就是把 的第一行与第 行互换，再把第一列与第 列互换.因此， 左上角第一个元素就是 ，这样

就归结到第一种情形.

3. 但有一

与上一情形类似，作合同变换 可以把搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取                                      ,

于是 的左上角就是 ,也就归结到第一种情形.

4.

由对称性，也全为零.于是,

是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对角形.取，就成对角形.

例 化二次型成标准形.

    (替换:X=CY..)

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