§7  分块乘法的初等变换及应用举例   <<返回

将分块乘法与初等变换结合是矩阵运算中的重要手段.

现设某个单位矩阵如下进行分块：             .

对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵 ；一行(列)加上另一行(列)的 (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：

.

和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵

,

只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：

,                 (1)

,                (2)

.          (3)

同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.

在(3)中，适当选择，可使.例如可逆时，选，则.于是(3)的右端成为

这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.

例1 设,可逆，求.(结论:)

例2 证明行列式的乘积公式.

证明:据第二章第6节例3.已有如下

现在的问题就是证明.先对左式对应的矩阵作左乘

可发现相当于对做若干次初等行变换……因此得

.

所以问题变为证.只要对左式左边再做若干次行对换成为即可……

例3 设，且

则有下三角形矩阵使=上三角形矩阵.

证明:对n用数学归纳法:将n级矩阵A分成四块:

先据归纳假设将化成上三角型: 上三角型.然后将A左乘目的是将左下角变成0.再左乘,目的是将化成上三角型.两矩阵相乘即可得…

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