§5  矩阵的分块    <<返回

一.引例.在矩阵          …

.                       …

在计算 时，把 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是

,

其中           ,

.

因之 .不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.

    二.分块矩阵的乘法

一般，设，把分成一些小矩阵

,                        (1)

,                        (2)

其中每个 是 小矩阵，每个 是 小矩阵，于是有

,                   (3)

其中

.  (4)

这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.

应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.

以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清.

实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在那里，用表示的行向量，于是,这就是的一种分块.按分块相乘，就有

.

用这个式子很容易看出 的行向量是 的行向量的线性组合；将 进行另一种分块乘法，从结果中可以看出 的列向量是 的列向量的线性组合.

例:求矩阵

的逆矩阵，其中 分别是 级和 级的可逆矩阵， 是 矩阵， 是 零矩阵.

首先，因为,所以当可逆时，也可逆.设,

于是                    ,

这里分别表示级和级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得

……

.因此.特别地,当 时，有.

   三.常见的分块

   1.有关方程组的  (1)增广矩阵…  (2)行向量分块…  (3)列向量分块…

   2.有关对角阵的乘法  (1)左乘…     (2)右乘…

   四.准对角阵的运算

1.概念

形式为的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵.

2.运算(1)积:对于两个有相同分块的准对角矩阵    

,,

如果它们相应的分块是同级的，那么显然有

(2)和:它们还是准对角矩阵.

(3)逆:其次，如果都是可逆矩阵，那么

.

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