§2  矩阵的运算  <<返回

现在来定义矩阵的运算.以下所讨论的矩阵全是由某数域中的数组成的.

一. 加法

1.定义1 设,是两个矩阵，则矩阵称为和的和，记为.

注:相加的矩阵必须要有相同的行数和列数(同型).

2.性质

(1)结合律……;         (2)交换律……

3.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起含混的时候，可简单地记为.显然，对所有的，.

负矩阵…...矩阵的减法…

例: 在§1,3中可引出两种物资的总调动方案的求法即求矩阵的和……

4.矩阵相加的秩:根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，容易看出：

秩（+）≤ 秩（）+秩（）

二. 乘法

1.引例:设和是两组变量，它们之间的关系为

                              (1)

又如是第三组变量，它们与的关系为          (2)

由(1)与(2)不难看出与的关系：

.       (3)

如果我们用                                     (4)

来表示与的关系，比较(3),(4)，就有

.                   (5)

用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵分别表示变量与以及与之间的关系，那么表示与之间的关系的矩阵就由公式(5)决定.矩阵称为矩阵与的乘积，记为

2.定义2 设,那么矩阵,其中

,                  (6)

称为矩阵与的乘积，记为.

注:在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.

例1 设,那么

例2 如果是一线性方程组的系数矩阵，而

分别是未知量和常数项所成的矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式.

例3 设由坐标系到的坐标变换的矩阵为 .若令  ,那么坐标变换的公式为.

如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 到第三个坐标系 的坐标变换公式为 ,其中 .那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 .

    3.运算律

(1)结合律…….          (2)分配律(分左右)，

注:矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来.

例:设,    而.

由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 时,不一定有.

定义3 矩阵称为级单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简单写为.显然有,  .

应该指出，由于矩阵无交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律.

我们还可以定义矩阵的方幂.设是一矩阵，定义当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明,   .

这里是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以与一般不相等.

三. 数量乘法

.   1.定义4 矩阵称矩阵与数的数量乘积，记.

2.运算律：(1).,            (2),      

(3),            (4),       (5).               

3.数量矩阵:矩阵通常称为数量矩阵.作为(5)的特殊情形，如果是一矩阵，那么有

此式说明，数量矩阵与所有的 矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个 级矩阵与所有 级矩阵作乘法是可交换的，则这个矩阵必为数量矩阵.又有, (数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法).

四. 转置

1.定义5 设,A的转置为.

2.运算律：

(1),  (2).,  (3).,  (4)..  

例4 设.求.

(结论:)

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