第 三 章                           
                                          §5 线性方程组有解判别定理   <<返回


一、向量方程

设线性方程组为                    (1)

引入向量        .         (2)

 

 

 

于是线性方程组(1)可以改写成向量方程

.                         (3)

线性方程组(1)有解的充要条件为向量可以表成向量组的线性组合.

二、线性方程组(1)有解的进一步判别


定理7  线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵A与增广矩阵                 有相同的秩.

 

 

证明:充分性:有解说明可由线性表示.从而 有相同的秩……必要性: A的列向量有相同的最大无关组,从而等价……

这个判别条件与以前的消元法一致.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形:

或者

 

 

 

其中.在前一种情形,原方程组无解,而在后一种情形方程组有解.实际上,把这个阶梯形矩阵最后一列去掉,那就是线性方程组(1)的系数矩阵经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说,当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时,方程组有解;当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时,方程组无解.

以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.


三、一般线性方程组的一个解法.

设线性方程组(1)有解,矩阵的秩都等于,而是矩阵的一个不为零的级子式(当然它也是的一个不为零的子式),为了方便起见,不妨设位于的左上角.

在这种情况下,的前行就是一个极大线性无关组,第行都可以经它们线性表出.因此,线性方程组(1)

                (4)

同解.

 

时,由克拉默法则,线性方程组(4)有唯一解,也就是线性方程组(1)有唯一解.

时,将线性方程组(4)改写为

        (5)

 

 

 

(5)作为的一个方程组,它的系数行列式.由克拉默法则,对于的任意一组值,线性方程组(5),也就是线性方程组(1),都有唯一的解. 就是线性方程组(1)的一组自由未知量.(5)用克拉默法则,可以解出

                     (6)

(6)就是线性
方程组
(1)的一般解 .

取怎样的数值时,线性方程组有唯一解,没有解,有无穷多解? (结论: =1:无穷多解. =-2:无解.其余有唯一解)

 

 


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