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                                                                    §9 有理系数多项式

这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.

一、有理系数多项式的有理根

1. 本原多项式:如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.

2.预备结论1: 任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积.……

可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的… 因为与只差一个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.

3.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.

证明:设两个本原多项式的积为.用反证法,设p为中系数的公因子.然后分别设出中不被p整除的第一个系数,设为i,j.再看的i+j项……

4.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.

证明:设是所求有理多项式分解.用提取公因式的方法将之化成本原多项式的等式:.再利用Gauss 引理得……

以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式是否可约的问题.

推论 设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数多项式.

证明:完全类似定理11的证明方法.

5.定理12 设

是一个整系数多项式.而是它的一个有理根,其中互素,那么

(1) ;特别如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子.

(2)

其中是一个整系数多项式.

    证明(1)据已知,在有理数域上即….据推论

                     Z)

再比较系数……

    (2)据上面的推论……

给了一个整系数多项式,设它的最高次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数用综合除法来进行试验.

当有理数的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.

首先,1和-1永远在有理数中出现,而计算与并不困难.另一方面,若有理数是的根,那么由定理12,

而也是一个整系数多项式.因此商

都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以用或除而考虑所得的商.)

例1 求多项式的有理根.

(r可能是,s可能是.验算后-2,1/3为其根)

例2 证明在有理数域上不可约.(求其无有理根即可)

二、有理数域上多项式的可约性判别

定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设

是一个整系数多项式.若有一个素数,使得

1. ;        2. ;            3. .

则多项式在有理数域上不可约.

    证明:反证:设.比较系数得.分析条件…得p只能整除之一(设为),且,.设中第一个不被p整除的是,展开f(x)的系数即可发现矛盾……

由艾森斯坦判断法得到:

有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.

注:艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.

有时对于某一个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把适当变形后,就可以应用这个判断法.

例3 设是一个素数,多项式叫做一个分圆多项式,证明在中不可约.

证明：令，则由于

,

,

令，于是

,

由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.

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