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§7 多项式函数
到目前，我们始终是纯形式地讨论多项式.在这一节，将从函数的观点来考察多项式.
一、多项式函数
1.设
(1)
是
中的多项式，
是
中的数，在(1)中用代
所得的数
称为
当
时的值,记为
.这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.
2.因为在与数域中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果
那么
2.两个定理
(1)定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.
如果在时函数值
，那么就称为的一个根或零点.
推论
是的根的充要条件是
.
由这个关系，可以定义重根的概念.
称为的
重根，如果
是的重因式.当
时，称为单根；当
时，称为重根.
(2)定理8
中
次多项式
在数域中的根不可能多于，重根按重数计算.
二、多项式相等与多项式函数相等的关系
1.问:是否可能有
,而对于中所有的数都有
?
2.定理9
如果多项式,
的次数都不超过,而它们对n+1个不同的数有相同的值即
,
,那么=.
证明:考察方程-=0的根,再据定理8……
因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，数域中多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.
注:同学们以后学《近世代数》后,可知除数域外,还有许多不同类型的“域”。有些域上的形式多项式与函数多项式是不同的……
三、综合除法
根据余数定理,要求当
时的值,只需用带余除法求出用
除 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.
设
并且设
.
(2)
其中
比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
这样,欲求系数
,只要把前一系数
乘以
再加上对应系数
,而余式
也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:
例1
用
除
.
(结论:余93
)?
例2
求使
能被
整除
(结论:-4)
注:
:若缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.
四、拉格朗日插值公式
已知次数
的多项式在
的值
.
设
依次令
代入,得
这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.
例3
求次数小于3的多项式,使
.
(结论:
)
五.
将一个多项式表成一次多项式
的方幂和的方法.
所谓次多项式表成的方幂和，就是把表示成
的形式.如何求系数
，把上式改写成
,
就可看出
就是被除所得的余数，而
就是被除所得的商式.
求
…类似…
例4
将
展开成的多项式.
解 令
，则
.于是
.问题变为把多项式
表成
（即）的方幂和,
-2 | 1 2 -3 1 5
+) -2 0 6 -14
-------------------------------------------------------
-2 | 1 0 -3 7 | -9
+) -2 4 -2
------------------------------------------------------
-2 | 1 -2 1 | 5
+) -2 8
-----------------------------------------------
-2 | 1 -4 | 9
+) -2
----------------------------------
1 | -6
所以
.
注：将表成的方幂和，把写在综合除法的左边，将的方幂和展开成的多项式，那么相当于将表成
的方幂和，要把
写在综合除法的左边.
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