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                                                            §6  重因式

一、重因式的定义

1.定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.()               单因式()；重因式().

注: 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.

显然，如果的标准分解式为 ,那么分别是的重，… ,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.

2.重因式的判断

不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.

二、重因式的性质

1.设有多项式                  ,      

规定它的微商（也称导数或一阶导数）是.

微商称为的一阶微商；的微商称为的二阶微商；等等. 的阶微商记为.

2.多项式微商的基本公式:(与数学分析形式一样)

3.定理6  如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是微商的重因式.

分析: 要证是微商的重因式,须证,但.

注:定理6的逆定理不成立.如
　

,   ,
　

是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.

推论1 如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.

推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.

推论3 多项式没有重因式

这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决.

由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都无改变,所以由定理6有以下结论:

若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某一数域上的多项式时, 也没有重因式.

例1 判断多项式有无重因式.   (无)

    三、去掉重因式的方法

设有重因式,其标准分解式为

.

那么由定理6

用去除所得的商为

这样得到一个没有重因式的多项式.且若不计重数, 与含有完全相同的不可约因式.把由找的方法叫做去掉重因式方法.

例2 求多项式的标准分解式.

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