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                                                               §5  因式分解定理

一、不可约多项式.

1.定义8 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.

注:(1)根据定义，一次多项式总是不可约多项式.

(2)一个多项式是否可约是依赖于系数域的.

例:. 在有理数域、实数域、复数域上的分解… 

显然，多项式不可约当且仅当其因式仅有非零常数与它自身的非零常数倍这两种.由此可知，不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系，或者或者.

2.定理5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.

推广：如果不可约多项式整除一些多项式的乘积，那么一定整除这些多项式之中的某一个.

   二、因式分解定理

1.因式分解及唯一性定理 数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式

,

那么必有，并且适当排列因式的次序后有.其中是一些非零常数.

    证明:先证分解式存在,对f(x)次数用数学归纳法…再证唯一性,类似近代的方法……

2. 标准分解式

在多项式的分解式中,其中是的首项系数，是不同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为标准分解式.

如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式….

若与的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则与互素.

注：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下没有分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域上一个多项式是否可约一般都很困难.

例 在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.

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