一 、多项式的最大公因式
1. 公因式:如果多项式既是的因式,又是的因式,那么就称为与的一个公因式.
2.定义6 设与是中两个多项式. 中多项式称为,的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:
1)是与的公因式;
2),的公因式全是的因式.
例:对于任意多项式,就是与0的一个最大公因式.特别地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0.
引理 如果有等式 (1)
成立,那么,和,有相同的公因式.从而有相同的最大公因式.
3.公因式的存在性与性质
定理2 对于的任意两个多项式,,在中存在一个最大公因式,且可以表成,的一个组合,即有中多项式使
. (2)
证明:先证明,有一个为零的情形……
一般情形下,用对做带余除法,若余式不为零,则用余式除除式,不断做下去,直至余式为零为止.最后一个除式即为最大公因式.
为得(2)式,只要从后往前反推……
由最大公因式的定义不难看出,如果是,的两个最大公因式,那么一定有与,即.
约定:若,不全为零,用(,)来表示首项系数是1的最大公因式.
4.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法.
例 设,
求(,),并求使.
(结果:公因式:.)
注:定理2的逆不成立.例如令,则.但不是与的最大公因式.
但是当(2)式成立,而是与的一个公因式,则一定是与的一个最大公因式.
二、多项式互素
1.定义7 中两个多项式,称为互素(或互质)的,如
2. 互素的充要条件
定理3 中两个多项式,互素的充要条件是有中多项式使.
证明:必要性直接据定理2,充分性直接设…
3.互素的性质
定理4 如果,且,那么.
证明:要用定理3的公式,两边乘……
推论1 如果,且,那么.
证明:先设,再据定理4得……
推论2 如果,,那么
证明:反证,设,然后利用定理2列出公式即可看出……
3.推广
(1)概念推广
对于任意多个多项式,如果多项式满足
1);
2)如果,那么.
则称为的一个最大公因式,
仍用表示首项系数为1的最大公因式.
(2)多个多项式的最大公因式的求法
易证的最大公因式存在,且全不为零时
=
(2)性质推广
<1>利用以上这个关系可以证明,存在多项式,使
如果,那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.
注:1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例,但,且.
2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,
,则,但.
3) 个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式
是互素的,但.
4)从数域过渡到数域时, 与的最大公因式本质上没有改变……
<2>其它性质的推广
1)若多项式与
互素,则.
2) 若多项式都整除,且两两互素,则.
3) 若多项式都与互素,则.
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