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                                                                       §4 多项式的最大公因式


一 、多项式的最大公因式

1. 公因式:如果多项式既是的因式,又是的因式,那么就称为的一个公因式.

2.定义6 中两个多项式. 中多项式称为的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:

1的公因式;

2的公因式全是的因式.

:对于任意多项式就是0的一个最大公因式.特别地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0.

引理 如果有等式                                   (1)

成立,那么有相同的公因式.从而有相同的最大公因式.

3.公因式的存在性与性质

定理2 对于的任意两个多项式,在中存在一个最大公因式,且可以表成的一个组合,即有中多项式使

.                    (2)

    证明:先证明有一个为零的情形……

    一般情形下,做带余除法,若余式不为零,则用余式除除式,不断做下去,直至余式为零为止.最后一个除式即为最大公因式.

    为得(2),只要从后往前反推……

由最大公因式的定义不难看出,如果的两个最大公因式,那么一定有,即.

约定:,不全为零,用()来表示首项系数是1的最大公因式.

4.定理证明中用来求最大公因式的方法­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­通常称为辗转相除法.

,

求(),并求使.

    (结果:公因式:.)

注:定理2的逆不成立.例如令,.不是的最大公因式.

但是当(2)式成立,而的一个公因式,则一定是的一个最大公因式.


二、多项式互素

1.定义 中两个多项式称为互素(或互质)的,如

2. 互素的充要条件

定理3  中两个多项式互素的充要条件是有中多项式使.

    证明:必要性直接据定理2,充分性直接设

3.互素的性质

定理4 如果,且,那么.

证明:要用定理3的公式,两边乘……

推论1 如果,且,那么.

证明:先设,再据定理4……

推论2 如果,,那么

证明:反证,,然后利用定理2列出公式即可看出……

3.推广

(1)概念推广

对于任意多个多项式,如果多项式满足

1;

2)如果,那么.

称为的一个最大公因式

仍用表示首项系数为1的最大公因式.

(2)多个多项式的最大公因式的求法

易证的最大公因式存在,且全不为零时

=

(2)性质推广

<1>利用以上这个关系可以证明,存在多项式,使

如果,那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.

:1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.,,.

2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.,,

,,.

3) 个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式

是互素的,.

4)从数域过渡到数域, 的最大公因式本质上没有改变……

<2>其它性质的推广

1)若多项式

互素,则.

2) 若多项式都整除,且两两互素,则.

3) 若多项式都与互素,则.


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