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                                 §3       整除的概念

在一元多项式环中，乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.

一、整除的概念

1.带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，必存在唯一的中的多项式，使

                       (1)

成立，其中或者.

带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.

2．定义5 数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式成立.用“”表示整除，用“”表示不能整除.

当时，就称为的因式，称为的倍式.

3．定理1 对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.

证明:根据概念直接可以看出…

带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.

当时，如，除的商有时也用来表示.

    二、整除的性质

1. 任一多项式一定整除它自身.

2. 任一多项式都能整除零多项式0.

3. 非零常数能整除任一个多项式.

4. 若，则,其中为非零常数.

5. 若，则（整除的传递性）.

6. 若，则

,

其中是数域上任意的多项式.

注：（1）与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.

（2）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变……

例1 证明若，则

例2 求，使 .()

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