第 一 章                                                                           <<返回                                                                   
                                 §3       整除的概念


在一元多项式环中,乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.

一、整除的概念

1.带余除法 对于中任意两个多项式,其中,必存在唯一的中的多项式,使

                       (1)

成立,其中或者.

带余除法中所得的通常称为称为余式.

2.定义5 数域上的多项式称为整除,如果有数域上的多项式使等式成立.表示整除,用表示不能整除.

时,就称为因式称为倍式.

3.定理1 对于数域上的任意两个多项式,其中的充要条件是的余式为零.

证明:根据概念直接可以看出

带余除法中必须不为零.中,可以为零.这时.

时,如的商有时也用来表示.



    二、整除的性质

1. 任一多项式一定整除它自身.

2. 任一多项式都能整除零多项式0.

3. 非零常数能整除任一个多项式.

4. ,则,其中为非零常数.

5. ,则(整除的传递性).

6. ,则

,

其中是数域上任意的多项式.

注:1与它的任一个非零常数倍有相同的因式,也有相同的倍式.因之,在多项式整除性的讨论中,常常可以用来代替.

2)两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变……

 

1 证明若,则

2 ,使 .()

   例3 ,则

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