一．填空题（每空3分，共24分）
1．在
中，基
到基
的过渡矩阵是
2．数域P上全体
阶方阵对于矩阵的加法和数乘构成
维向量空间。
3．设数域P上三维列向量空间
的线性变换
在基
下的矩阵是
，则在基
下的矩阵是
。
4.
是
维向量空间的子空间，关于子空间的维数公式是
。
5.
是
上3阶方阵，则在
中，
与
正交相似（即相似变换是正交变换）。
6．在
中，定义内积为标准内积，则向量
的夹角是
，距离是
。
7.
中，与矩阵
的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间
的维数为
。
二、（12分）在
中，求基（1）
到基（2）
的过渡矩阵。判断它是否正交阵，并说明原因。
三、（12分）
（数域P上所有次数不大于3的多项式与零构成的线性空间）的线性变换如下
求它在基
下对应的矩阵。并求其子空间
的象空间。
四、（10分）若矩阵A的不变因子为1,1,1,1,
，求其若当标准型。
五、（10分）欧氏空间定义的内积为
求其在基（1,0,0），（0,1，0），（0,0，1）下的度量矩阵。并依此度量矩阵求向量（1,1,1）的长度。
六．（12分）判断线性空间
（实数与
上2阶方阵的全体）下的变换
为中固定的矩阵）
是否线性变换。它是否到自身的同构？
七．（10分）证明：正交变换不改变向量的长度与俩向量的夹角。
八.（10分）欧氏空间上的变换
定义为
证明：是线性变换，且为对称变换。
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