高等代数2试卷5B答案      返回

一．填空题（每空3分，共24分）

1．在中，基到基

的过渡矩阵是

2．数域P上全体方阵对于矩阵的加法和数乘构成 维向量空间。

3．设数域P上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵是，则在基下的矩阵是 。

4.是维向量空间的子空间，关于子空间的维数公式是

。

5.是上3阶方阵，则在中， D 与正交相似（即相似变换是正交变换）。

6．在中，定义内积为标准内积，则向量的夹角是 ，距离是 。

7.中，与矩阵的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间的维数为 2 。

二、（12分）在中，求基（1） 到基（2） 的过渡矩阵。判断它是否正交阵，并说明原因。

解：设基（3）为：，（1分）则

，即

，（3分）结合两式得

（5分）

（7分）

故，为所求。(8分 )

它不是正交阵，（10分）因为它第一第二列列向量不正交。（12分）

三、（12分）（数域P上所有次数不大于3的多项式与零构成的线性空间）的线性变换如下

求它在基下对应的矩阵。并求其子空间的象空间。

解：因为（2分），所以

（4分）

（7分）

线性变换在基下的矩阵为（8分）。

因为的基为（10分），所以它关于的象空间为

（12分）

四、（10分）若矩阵A的不变因子为，求其若当标准型。

解：依题意，得A的初等因子为，（4分）对应若尔当块分别为

（6分）

因此所求若当标准型为

(10分)

五、（10分）欧氏空间定义的内积为

求其在基（1,0,0），（0,1，0），（0,0，1）下的度量矩阵。并依此度量矩阵求向量（1,1,1）的长度。

解：设（1分）则当时，；

（4分）

所求度量阵为（7分）。

设，则 （10分）

六．（12分）判断线性空间（实数与上2阶方阵的全体）下的变换

为中固定的矩阵）

是否线性变换。它是否到自身的同构？

解：先说明它是线性变换。

任取， （2分）

对任意。（4分）所以是线性变换。(6分)

要使得为同构，需为双射。（8分）首先它是单射。即PAQ=PBQ可以推出A=B。这条件不成立。（10分）

反例：，PAQ=PBQ，但。（12分）

七．（10分）证明：正交变换不改变向量的长度与俩向量的夹角。

解：设为欧几里得空间V上的正交变换。任取向量

(3分)

得，（5分）即正交变换不改变向量长度。 （6分）

设两向量夹角为 （10分）

八.（10分）欧氏空间上的变换定义为

证明：是线性变换，且为对称变换。

证明：任取，有

（3分）

又

因此为线性变换。（6分）

下面证明为对称变换。

（8分）

观察上面两式得

因此是对称变换。（10分）

　

　

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