一．单选题（每小题3分，共24分）
1．在
维线性空间
中，下列子集能构成子空间的个数为 （ ）
(A) 1个； (B) 2个； (C) 3 个； (D) 4个。
2．设
是数域
上的
阶方阵做成的线性空间，则其维数为
（ ）
(A)n； (B)2n ； (C)3n； (D) 
。
3．设阶实对称矩阵
是正定矩阵，则
（ ）
(A) 
； (B) 与
相似； (C) 
E； (D) 与E合同。
4．设δ是线性空间 V 的对合变换（即
= 单位变换），则下列说法正确的是 ( )
（A） δ只有一个特征值为 1；
（B） δ只有一个特征值为-1；
（C） δ有两个特征值为1和-1； （D） δ的特征值与维数无关。
5．设δ是n维（n>0）线性空间 V 的一个对称变换,则下列说法错误的是 （ ）
（A）δ的特征值全部为实数；
（B）δ一定可以对角化；
（C）δ关于某一组规范正交基的矩阵是对称矩阵； （D）δ一定是正交变换。
6．设
是线性空间 V 的线性相关的向量组，δ是 V的线性变换，则
（
）
(A)线性无关； (B) 线性相关； (C) 不一定线性无关； (D) 全是零向量。
7.n 阶方阵A有 n 个不同的特征值是A可以对角化的
（ ）
(A)充要条件；
(B) 充分而非必要条件；
(C) 必要而非充分条件； (D) 既非充分也非必要条件。
8.、
为阶矩阵，且与相似，E为阶单位矩阵，则
（ ）
（A）
； （B）与有相同的特征向量和特征值；
（C）与相似于同一个对角矩阵； （D）
。
二．（12分） 在
中有两组基：
求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求在此两组基下所有坐标无变化的向量。
三．（14分）设
是二维列向量空间
的线性变换：
（1）求
的基和维数；（2）求
的基和维数；（3）用此题验证：
。
四．（12分）设
。（1）求A的特征值与对应的
特征向量；(2)A可以对角化吗?为什么?
五．（10分）求矩阵
的若尔当标准型。
六．（12分）设
是维欧氏空间的正交变换，
=
。证明：（1）
是的子空间；（2）
，都有
，即
。
七．（8分）设
是线性空间的一个线性变换，
都是
的不变子空间。证明：
也是的不变子空间。
八．（8分）设是数域P上的全体阶方阵对矩阵的加法和数乘运算做成的线性空间，以下定义中哪个是到自身的同构映射?为什么？
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