高等代数2试卷5A      答案 返回

一．单选题（每小题3分，共24分）

　

1．在维线性空间中，下列子集能构成子空间的个数为 （ C ）

(A) 1个； (B) 2个； (C) 3 个； (D) 4个。

2．设是数域上的阶方阵做成的线性空间，则其维数为 （ D ）

(A)n； (B)2n ； (C)3n； (D) 。

3．设阶实对称矩阵是正定矩阵，则 （ D ）

(A) ； (B) 与相似； (C) E； (D) 与E合同。

4．设δ是线性空间 V 的对合变换（即= 单位变换），则下列说法正确的是 ( C )

（A） δ只有一个特征值为 1； （B） δ只有一个特征值为-1；

（C） δ有两个特征值为1和-1； （D）δ的特征值与维数无关。

5．设δ是n维（n>0）线性空间 V 的一个对称变换,则下列说法错误的是 （ D ）

（A）δ的特征值全部为实数； （B）δ一定可以对角化；

（C）δ关于某一组规范正交基的矩阵是对称矩阵； （D）δ一定是正交变换。

6．设是线性空间 V 的线性相关的向量组，δ是 V的线性变换，则

（ B ）

(A)线性无关； (B) 线性相关； (C) 不一定线性无关； (D) 全是零向量。

7.n 阶方阵A有 n 个不同的特征值是A可以对角化的 （ B ）

(A)充要条件； (B) 充分而非必要条件；

(C) 必要而非充分条件； (D) 既非充分也非必要条件。

8.、为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则 （ D ）

（A）； （B）与有相同的特征向量和特征值；

（C）与相似于同一个对角矩阵； （D）。

二．（12分） 在中有两组基：

求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求在此两组基下所有坐标无变化的向量。

解：作基（3）为：，（1分）则

，（3分）（即

（4分）,（5分）。结合两式得：

所求过渡阵为。（8分）

设为在两组基下坐标无变化的向量。并设（9分）

即，（10分）故

。即（11分），得通解：，k为P中任意常数。通解中所有向量均为两组基下所有坐标无变化的向量。（12分）

三．（14分）设是二维列向量空间的线性变换：

（1）求的基和维数；（2）求的基和维数；（3）用此题验证：。

解：（1）的基可取。（2分）=

（5分）可见的基为, 维数为2。（7分）

（2）设，得X=O，（10分）因此维数为0，基不存在。（11分）

（3）因为，=0 所以 （14分）

四．（12分）设。（1）求A的特征值与对应的

特征向量；(2)A可以对角化吗?为什么?

解：（3分）

得到三个不同的特征值-2,2，-1（4分）。据不同的特征值对应的特征向量线性无关，因此有三个线性无关的特征向量，A可以对角化。（6分）

当时，，对应特征方程的通解为k（8分）;

当时，，对应特征方程的通解为k（10分）;

当时，，对应特征方程的通解为k。

以上通解均为对应特征值的特征向量（k为任意常数）。（12分）

五．（10分）求矩阵的若尔当标准型。

解：该矩阵对应的-矩阵为

不变因子： (5分) 。初等因子：（7分）。

原矩阵的若当标准型为：（10分）。

六．（12分）设是维欧氏空间的正交变换，=

。证明：（1）是的子空间；（2），都有，即。

证明：(1)只要证明关于加法和数乘封闭。

任意取，即满足。据为正交变换，因为正交变换属于线性变换，因此，同时对任意成立。从而成立。关于加法和数乘封闭。为V的子空间。（6分）

（2）。据规定存在，所以

因为为正交变换，所以，代入上式立即得。由此证得。（12分）

七．（8分）设是线性空间的一个线性变换，都是

的不变子空间。证明：也是的不变子空间。

证明：首先因为作为V的子空间，有为V的子空间。（2分）

任取，因此有且（3分）。因为，且已知是的不变子空间，所以（4分）。同理（5分）。综合上面的结论即。（7分）这说明是的不变子空间（8分）。

八．（8分）设是数域P上的全体阶方阵对矩阵的加法和数乘运算做成的线性空间，以下定义中哪个是到自身的同构映射?为什么？

证明：对于定义，由于不是所有矩阵均可逆，因此它非映射。更非同构映射。（2分）

对于定义，由可以推出A=B，因此为单射。为满射显然。故为双射（4分）。

另外，因为（6分）

，

所以证得定义中的为到自身的同构映射.（8分）