高等代数2试卷3A              答案   返回

 

一.选择题（每小题3分，共30分）

1．线性空间的定义中(k+l)a = ka+la,关于等式两边的“+”号正确的是             （   ）                                                                                                      

(A)左右两边都是数的加法    (B)左右两边都是向量的加法

(C)左边是数的加法，右边是向量的加法   (D)左边是向量的加法，右边是数的加法

2. 线性空间V的非空子集W构成子空间的充要条件是                         （   ）

（A）W是V的子集         （B）W关于V中的加法与数乘封闭

 (C) W关于W中的加法与数乘封闭    (D) 以上说法都不对

3. 在中，可以作为基的是                                             (   )

（A）   （B）  (C)    (D)

4. 设矩阵A的不变因子为1,1, 1,1  ，则它的初等因子为 　（ 　）

(A)1,1, 1,1       (B)

(C)       (D)

5．设W是欧几里得空间V的一个A-子空间（A是V上的一个线性变换），下面说法不正确的是                                                                  （   ）

（A）W可能是退化的     (B) 也是A-子空间

(C) A限制在 W 上也是线性变换    (D) A若是对称变换，那么也是A-子空间

6. 设矩阵A=与 D=相似，则x =                     （   ）

（A）1        (B) -1         (C)2          (D)不能确定

7. 在R³中取一组基a₁=，a₂=，a₃=，设A为R³的一个线性变换，且Aa₁=，Aa₂=，Aa₃=，则 A关于基a₁,a₂,a₃矩阵为                            (   )

(A)  (B)         (C)        (D) 

8．设某矩阵的若尔当标准形为，那么它有                         （   ）

（A）两个若尔当块，一个特征子空间   （B）一个若尔当块，两个特征子空间

(C)一个若尔当块，一个特征子空间      (D)两个若尔当块，两个特征子空间

9. 设A, B为n阶方阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则                 (   )

(A)lE-A=lE-B                           (B) A与B有相同的特征值和特征向量

(C)A与B都相似于一个对角矩阵           (D) 对任意常数t, tE-A与 tE-B相似

10. 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值l的特征向量，则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值l的特征向量是                       (    )

(A)P^-1a            (B)P^Ta              (C)Pa            (D)(P^-1)^Ta

 

 

二．（12分）在R⁴中，求由基

到基的过渡矩阵，并求向量在基下的坐标。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三．（10分）求线性方程组的解空间的一组标准正交基。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

四．（12分）已知二次型f(x₁,x₂,x₃) = x₁²+2x₂²+3x₃²-4x₁x₂ -4x₂x₃，试用正交变换将之变成对角型（要求写出所用的正交变换）。

 

 

 

 

 

 

 

             

 

 

 

                

 

五．（12分）设 a₁=(1,2,1,0), a₂=(-1,1,1,1), b₁=(2,-1,0,1), b₂=(2,2,2,2)，U=L(a₁,a₂), W=L(b₁,b₂), 求 U+W 的基和维数，并判断它是否直和。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

六．（12分）设V=（P为数域）,在V中定义线性变换A：对任意,A,其中，求此线性变换在基下的矩阵。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

七(12分)证明题

1．设a是欧氏空间的V的一个固定向量，W={b|<a,b>³0, bÎV}。证明W构成V的子空间的充分必要条件是 a=0.

 

 

 

 

 

2．V为数域P上的线性空间，A为V上的线性变换，证明: A的值域AV为A-子空间。