高等代数2试卷3A答案            返回

 

一.选择题（每小题3分，共30分）

1．线性空间的定义中(k+l)a = ka+la,关于等式两边的“+”号正确的是            （ C ）                                                                                                      

(A)左右两边都是数的加法    (B)左右两边都是向量的加法

(C)左边是数的加法，右边是向量的加法   (D)左边是向量的加法，右边是数的加法

2. 线性空间V的非空子集W构成子空间的充要条件是                        （ B ）

（A）W是V的子集         （B）W关于V中的加法与数乘封闭

 (C) W关于W中的加法与数乘封闭    (D) 以上说法都不对

3. 在中，可以作为基的是                                             ( A  )

（A）   （B）  (C)    (D)

4. 设矩阵A的不变因子为1,1, 1,1  ，则它的初等因子为 　（ C）

(A)1,1, 1,1       (B)

(C)       (D)

5．设W是欧几里得空间V的一个A-子空间（A是V上的一个线性变换），下面说法不正确的是                                                                 （ B  ）

（A）W可能是退化的     (B) 也是A-子空间

(C) A限制在 W 上也是线性变换    (D) A若是对称变换，那么也是A-子空间

6. 设矩阵A=与 D=相似，则x =                     （ A  ）

（A）1        (B) -1         (C)2          (D)不能确定

7. 在R³中取一组基a₁=，a₂=，a₃=，设A为R³的一个线性变换，且Aa₁=，Aa₂=，Aa₃=，则 A关于基a₁,a₂,a₃矩阵为                            (  D )

(A)  (B)         (C)        (D) 

8．设某矩阵的若尔当标准形为，那么它有                         （ C ）

（A）两个若尔当块，一个特征子空间   （B）一个若尔当块，两个特征子空间

(C)一个若尔当块，一个特征子空间      (D)两个若尔当块，两个特征子空间

9. 设A, B为n阶方阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则                 (  B )

(A)lE-A=lE-B                           (B) A与B有相同的特征值和特征向量

(C)A与B都相似于一个对角矩阵           (D) 对任意常数t, tE-A与 tE-B相似

10. 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值l的特征向量，则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值l的特征向量是                       (  B  )

(A)P^-1a            (B)P^Ta              (C)Pa            (D)(P^-1)^Ta

 

 

二．（12分）在R⁴中，求由基

到基的过渡矩阵，并求向量在基下的坐标.

解：设（1分）

那么（3分）

（5分）

故（8分）

==（10分）

=。因此所求的坐标为（12分）

 

三．（10分）求线性方程组的解空间的一组标准正交基。

 解： A=→→→（4分）

基础解系：x₁=(0,1,1,0,0),  x₂=(-1,1,0,1,0),  x₃=(4,-5,0,0,1),  （6分）

正交化得,  h₁=(0,1,1,0,0),  h₂=x₂ - h₁ = (-1,1/2,-1/2,1,0)= (-2,1,-1,2,0),  （8分）

h₃=x₃ - h₁ - h₂ = (7,-6,6,13,5),  单位化得解空间的一组标准正交基

g₁=(0,1,1,0,0),   g₂=(-2,1,-1,2,0),  g₃=(7,-6,6,13,5).   （10分）

 

 

四．（12分）已知二次型f(x₁,x₂,x₃) = x₁²+2x₂²+3x₃²-4x₁x₂ -4x₂x₃，试用正交变换将之变成对角型（要求写出所用的正交变换）。

解：二次型关于x的矩阵A=（2分） , 因此特征值为 l₁=-1 , l₂=2, l₃=5 .（4分）

  l₁=-1时，基础解系 x₁=，单位化 g₁=，（6分）

   l₂=2时，基础解系 x₂=  单位化 g₂=（8分）

l₃=5时，基础解系 x₃=  单位化 g₃=，（10分）

于是所用的正交矩阵 T=（11分）

 

对角形为.（12分）

 

              

五．（12分）设 a₁=(1,2,1,0), a₂=(-1,1,1,1), b₁=(2,-1,0,1), b₂=(2,2,2，2)，U=L(a₁,a₂), W=L(b₁,b₂), 求 U+W 的基和维数，并判断它是否直和。

 

解：因为 a₁,a₂线性无关，所以 dimU=2；b₁,b ₂线性无关，所以 dimW=2；（2分）

(a₁^T,a₂^T,b₁^T,b₂^T)=（6分）, 所以a₁,a₂,b₁为U+W的基（8分），dim(U+W)=3。（9分）

因为U+W的维数为3, U与V的维数均为2，(10分  )

U+W的维数<U的维数+ V的维数

所以U+W不是直和。（12分）

 

 

六．（12分）设V=（P为数域）,在V中定义线性变换A：对任意,A,其中，求此线性变换在基下的矩阵。

解：因为A （2分） = （4分）

  A （6分）=  （8分）

A =（10分）

所以所求的阵为（12分）

 

七(12分)证明题

1．设a是欧氏空间的V的一个固定向量，W={b|<a,b>³0, bÎV}。证明W构成V的子空间的充分必要条件是 a=0.

[证明]：“充分性” 当a=0，则 W=V，W是子空间。（3分）

“必要性”设W是子空间，因<a,a>³0，故aÎW，于是a,-aÎW，则<-a,a>³0，

即-<a,a>³0 ，这样只有 a=0.

 

2．V为数域P上的线性空间，A为V上的线性变换，证明: A的值域AV为A-子空间。

证明：值域AV关于加法与数乘封闭，因此它为  的一个子空间。（2分）

任取AV，因为A为线性变换，所以AV .(5分)因此有AA（AV）AV.所以AV为A-子空间。（6分）