一、选择题(30分,每题3分)
1、 若A,B 均为n阶方阵,A,B有相同的特征值且均非零,则 ( )
(A)A,B相似;(B)A,B合同; (C)A,B等价; (D)A,B有相同的若尔当标准型。
2、若矩阵P与Q相似,下列说法错误的是 ( )
(A)P与Q有相同的特征值;
(B)P与Q有相同的对角形;
(C)P 与Q可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵;
(D)P与 Q对应的行列式的值相同。
3、Q为n阶方阵,其秩为r.A为一个上的线性变换().A的核的维数为
( )
(A)r维; (B) n维; (C) n-r维; (D)0维。
4、数域P中的矩阵一定能通过相似变换化成对角形的是 ( )
(A)矩阵的特征多项式不能在P中完全分解;
(B)矩阵的特征多项式可以在P中完全分解;
(C)矩阵的初等因子全为一次式;
(D)矩阵仅有一个初等因子。
5、设矩阵A的不变因子为1,1, 1,1, ,则它的初等因子为 ( )
(A)1,1, 1,1,;
(B);
(C);
(D).
6、若向量空间R4 中,两向量分别为(1,0,1,0),(-2,2,1,1),则其夹角为 ( )
(A) (B) (C) (D)
7、关于欧几里得空间,下列说法正确的是 ( )
(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间;
(B)欧几里得空间未必是线性空间;
(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间;
(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。
8、下列矩阵不一定是正交阵的是 ( )
(A)正交变换在任一组标准正交基下的矩阵;
(B)其转置矩阵为其逆矩阵的方阵;
(C)其列向量组为单位向量且构成的正交向量组的方阵;
(D)欧几里得空间在某基下的度量矩阵。
9、实数域上的多项式为 ( )
(A)可约的非本原多项式;
(B)可约的本原多项式;
(C)不可约的本原多项式;
(D)不可约的非本原多项式。
10、设f为R3到C的函数,下列是线性函数的是 ( )
(A);
(B);
(C);
(D).
二、计算题(54分,每题9分)
1、 在R4(加法与数乘为常见的加法与数乘)中求由基
到基
的过渡矩阵,并求向量在基下的坐标.
2、在(P为数域)中,A定义如下:
其中
求A在基下的矩阵,并求A的值域与核。
3、求相似变换,将下列矩阵化成对角形:
4、若5级矩阵A的若当标准形为
求其特征值、初等因子与不变因子。
5.在线性空间R[x]4(所有次数小于4的实数域R上的多项式的全体)中定义内积为.验证R[x]4为欧氏空间,并且
是它的一组标准正交基。
6.设在欧氏空间R3中(内积按通常定义)有一组基
求此基的度量矩阵,并用此度量矩阵求的长度。
三、证明题(16分)
1、(8分)证明:数域P上的2阶方阵的全体关于矩阵的加法与矩阵的数乘作成线性空间,并且其维数为4.
2、(8分)证明:设1,2,-1,-1为数域P上的4维线性空间V上的线性变换A的特征值。则:A的值域为V,且1/2为A -1 的一个特征值。
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