高等代数2试卷1A     答案    返回

 

一、选择题30分,每题3分)

1 A,B 均为n阶方阵,A,B有相同的特征值且均非零,则                       

(A)A,B相似;(BA,B合同;  CA,B等价;  DA,B有相同的若尔当标准型。

 

2、若矩阵PQ相似,下列说法错误的是                                      

APQ有相同的特征值;

BPQ有相同的对角形;

CP Q可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵;

DP Q对应的行列式的值相同。

 

3Qn阶方阵,其秩为r.A为一个上的线性变换(.A的核的维数为                                                                      

Ar维;  (B) n维;   (C) n-r维;  (D)0维。

 

4、数域P中的矩阵一定能通过相似变换化成对角形的是                        

  (A)矩阵的特征多项式不能在P中完全分解;

  (B)矩阵的特征多项式可以在P中完全分解;

  (C)矩阵的初等因子全为一次式;

(D)矩阵仅有一个初等因子。

 

5、设矩阵A的不变因子为1,1, 11 ,则它的初等因子为 (  )

(A)1,1, 11

(B)

(C)

(D).

 

6、若向量空间R4 中,两向量分别为(1,0,1,0),(-2,2,1,1),则其夹角为         ( 

(A)   (B)    (C)      (D)

 

7、关于欧几里得空间,下列说法正确的是                                     

(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间;

(B)欧几里得空间未必是线性空间;

(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间;

(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。

 

8、下列矩阵不一定是正交阵的是                                              

(A)正交变换在任一组标准正交基下的矩阵;

(B)其转置矩阵为其逆矩阵的方阵;

(C)其列向量组为单位向量且构成的正交向量组的方阵;

(D)欧几里得空间在某基下的度量矩阵。

 

9、实数域上的多项式                                     

(A)可约的非本原多项式;

(B)可约的本原多项式;

(C)不可约的本原多项式;

(D)不可约的非本原多项式。

 

10、设fR3C的函数,下列是线性函数的是                              

(A)

(B)

(C)

(D).

 

二、计算题54分,每题9分)

1、  R4(加法与数乘为常见的加法与数乘)中求由基

     

到基

     

的过渡矩阵,并求向量在基下的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

2、在P为数域)中,A定义如下

      其中

A在基下的矩阵,并求A的值域与核

 

 

 

 

 

 

 

 

3、求相似变换,将下列矩阵化成对角形:

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、若5级矩阵A的若当标准形为

求其特征值、初等因子与不变因子。

    

 

 

 

 

 

 

 

5.在线性空间R[x]4(所有次数小于4的实数域R上的多项式的全体)中定义内积为.验证R[x]4为欧氏空间,并且     

      

是它的一组标准正交基。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.设在欧氏空间R3(内积按通常定义)有一组基

         

求此基的度量矩阵,并用此度量矩阵求的长度。

 

 

 

 

 

三、证明题16分)

1(8)证明:数域P上的2阶方阵的全体关于矩阵的加法与矩阵的数乘作成线性空间,并且其维数为4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、(8分)证明:设12-1-1为数域P上的4维线性空间V上的线性变换A的特征值。则:A的值域为V,1/2A -1 的一个特征值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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