高等代数2试卷1A答案                  返回

 

一、选择题（30分，每题3分）

1、 若A,B 均为n阶方阵，A,B有相同的特征值且均非零，则                  （ C   ）

(A)A,B相似；（B）A,B合同；  （C）A,B等价；  （D）A,B有相同的若尔当标准型。

 

2、若矩阵P与Q相似，下列说法错误的是                                 （  B  ）

（A）P与Q有相同的特征值；

（B）P与Q有相同的对角形；

（C）P 与Q可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵；

（D）P与 Q对应的行列式的值相同。

 

3、Q为n阶方阵，其秩为r.A为一个上的线性变换（）.A的核的维数为             （  C ）

（A）r维；  (B)  n维；   (C) n-r维；  (D)0维。

 

4、数域P中的矩阵一定能通过相似变换化成对角形的是       　　            （ C  ）

  (A)矩阵的特征多项式不能在P中完全分解；

  (B)矩阵的特征多项式可以在P中完全分解；

  (C)矩阵的初等因子全为一次式；

(D)矩阵仅有一个初等因子。

 

5、设矩阵A的不变因子为1,1, 1，1， ，则它的初等因子为（　C　）

(A)1,1, 1，1，；

(B)；

(C)；

(D).

 

6、若向量空间R⁴ 中，两向量分别为(1,0,1,0)，（-2,2,1,0），则其夹角为          （ C ）

(A)   (B)    (C)      (D)

 

7、关于欧几里得空间，下列说法正确的是                                   （ C ）

(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间；

(B)欧几里得空间未必是线性空间；

(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间；

(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。

 

8、下列矩阵不一定是正交阵的是                                           （ D ）

(A)正交变换在任一组标准正交基下的矩阵；

(B)其转置矩阵为其逆矩阵的方阵；

(C)其列向量组为单位向量且构成的正交向量组的方阵；

(D)欧几里得空间在某基下的度量矩阵。

 

9、实数域上的多项式为                                  （ A ）

(A)可约的非本原多项式；

(B)可约的本原多项式；

(C)不可约的本原多项式；

(D)不可约的非本原多项式。

 

10、设f为R³到C的函数，下列是线性函数的是                   　　　       （ B ）

(A)；

(B)；

(C)；

(D).

 

二、计算题（54分，每题9分）

1、  在R⁴(加法与数乘为常见的加法与数乘)中求由基

     

到基

     

的过渡矩阵，并求向量在基下的坐标.

解：因为，所以所求的过渡阵为 （5分）

又因为

， 所以为所求的坐标。（9分）

 

2、在中， A定义如下：

      其中

求A在基下的矩阵，并求A的值域与核。

解：因为，所以所求矩阵为。（5分）

据，其秩为2。

   又A的值域A=L(AAA,从上式可知AA线性无关，所以A的值域为A=L(AA)。（7分）

设A，则

 A A

解，得基础解系为： 

    所求的核为L().（9分）

 

3、求相似变换，将下列矩阵化成对角形：

　　　　　　　

解：令=0，得A的特征值为。（4分）

   （1）当时：

所以的基础解系为

    （2）当时，

所以的基础解系为 （7分）

   令，则即为所求。（9分）

 

4、若５级矩阵A的若当标准形为

求其特征值、初等因子与不变因子。

解：因为若当标准形中主对角线上的元素为原矩阵的特征值，所以所求的特征值为：0，1，2，2，2。（3分）

   因为若当标准型有三个若当块：（0），（1），，每一若当块分别对应一个初等因子：，而A与其若当标准形有相同的初等因子，所以它们即为A的所有初等因子。（6分）

     的所有不变因子为：1，1，.（9分）

 

5．在线性空间R[x]₄（所有次数小于4的实数域R上的多项式的全体）中定义内积为.验证R[x]₄为欧氏空间，并且     

      

是它的一组标准正交基。

解：因为

   并且满足：1）

2）

3），且等号成立当且仅当。

所以R[x]₄为欧氏空间。 （5分）

    另外，因为

 

 

同时

  所以是它的一组标准正交基。（9分）

 

6．设在欧氏空间R³中(内积按通常定义)有一组基

         

求此基的度量矩阵，并用此度量矩阵求的长度。

解：根据度量阵的定义，得所求度量阵：

                    （5分）

再求在基下的坐标：

    因为，所以

。

因而

  （7分）

  （9分）

 

三、证明题（16分）

1、(8分)证明：数域P上的2阶方阵的全体关于矩阵的加法与矩阵的数乘作成线性空间，并且其维数为4.

证明：据矩阵的理论， 数域P上的2阶方阵的全体关于矩阵的加法与矩阵的数乘封闭。

   矩阵的加法满足交换律，结合律，零元为，的负元为

   根据矩阵的性质，有：

    ；

  

  （4分）

   综上，数域P上的2阶方阵的全体关于矩阵的加法与矩阵的数乘作成线性空间

因为线性无关。且

所以为一组基，维数为4。（4分）

 

2、（8分）证明：设1，2，-1，-1为数域P上的4维线性空间V上的线性变换A的特征值。则：A的值域为V,且1/2为A ^-1 的一个特征值。

证明：据已知条件，线性空间V中存在一组基，使得A在此基下的矩阵为

而此阵为满秩阵，因此A的值域与V同秩。所以A的值域为V。（4分）

 

因为2是A一个特征值，所以存在V中的非零向量，使

               A=2

成立，两边同时用A ^-1作用，得A ^-1A=2 A ^-1，即A ^-1=1/2 ，所以1/2为A ^-1 的一个特征值。（4分）