一、
填空题(每小题3分,共24分)
1.已知多项式f(x)=d(x) f1(x),g(x)=d(x) g1(x) 且(f(x),g(x))=d(x),则(f1(x),g1(x))=
.
2.当m,p,q适合 条件时,有|.
3.设A=,则A31+A32+A33= .
4.设A为3级方阵,=,则= .
5.已知向量组α1=(1,4,3),α2=(-2,3,1),α3=(-1,k,4)线性相关,则参数k= .
6.设A=,A*是A的伴随矩阵,则(A*)= .
7.n级排列23…n1的逆序数为 .
8.设为分块矩阵,E为单位矩阵.且可逆.则
.
二、判断题(对的打√,错的打×,每小题2分,共12分)
1.若d(x)=u(x)
f(x)+v(x) g(x) 则d(x)|f(x)且d(x)|g(x) .
( )
2.设A为n阶方阵,若|A|<0,则A为可逆矩阵。
( )
3.若向量组α1,α2,...,αm(m≥2)中每个向量都不能由其余向量的线性表示,则此向量组线性无关。 ( )
4.若A、B为n阶矩阵,且A≠O,B≠O,则有|AB|≠0. ( )
5.正定的二次型的矩阵合同于单位矩阵。
( )
6.设A,B均为对称阵,则AB为对称阵。
( )
三、计算题(每小题8分,共48分)
1.计算行列式D=,i=1,2,...,n.
2.求下列向量组的秩和一个极大无关组,并将α1,α2拓展成整个向量组的极大无关组。
α1=(1,0,-1,0),α2=(-1,2,0,1),α3=(-1, 4,-1,2),
α4=(0, 0,5,5),α5=(0, 1,1,2).
3.已知A=,B=,求矩阵X使之满足AX=X+B.
4.求t的值,使下列方程组有解,并求其通解。
5.设, ,
(1)在复数域上求它们的公共根; (2)求它们在实数域上的标准分解式。
6.用非退化线性替换化下列二次型为标准型(要求写出线性替换)。
四、证明题(每小题8分,共16分)
1、 设A为n(n≥2)级方阵,A*为A的伴随矩阵,证明:
(1)| A*|=|A|n-1.
(2)若A可逆.则| A-1|=|A|-1.
2、已知向量组α1,α2,…,αs为某齐次线性方程组的一个基础解系,且
β1=α1,
β2=α1+α2,
β3=α1+α2+α3,
………
βs=α1+α2+…+αs,
证明:向量组β1,β2,……,βs也为该齐次线性方程组的一个基础解系。