高等代数1试卷1A答案           返回

一、       填空题(每小题3分,共24分)

1.已知多项式f(x)d(x) f1(x)g(x)d(x) g1(x) 且(f(x)g(x))=d(x),则(f1(x)g1(x))=     1      .

2.当mpq适合 q=m,p+1+m2=0  条件时,有x2mx1|x3pxq.

3.设A,则A31A32A33  -18        .

4.设A3级方阵,,则  -2      .

5.已知向量组α1=(1,43),α2=(-2,3,1α3=(-1k4线性相关,则参数k   7   .

6.设AA*A的伴随矩阵,则(A*)1       .

7n级排列23n1的逆序数为     n-1     .

8.设为分块矩阵,E为单位矩阵.可逆.  .

、判断题(对的打,错的打×,每小题2分,共12分)

1d(x)u(x) f(x)v(x) g(x) d(x)|f(x)d(x)|g(x) .                (  )

2An阶方阵,若|A|<0,则A为可逆矩阵。                  ( )

3若向量组α12,...αm(m≥2)中每个向量都不能由其余向量的线性表示,则此向量组线性无关。         ( )

4ABn阶矩阵,且A≠O,B≠O,则有|AB|≠0.                  ( )

5正定的二次型的矩阵合同于单位矩阵。                         ( )

6.A,B均为对称阵,AB为对称阵。                            (  )

三、计算题(每小题8分,共48分)

1.计算行列式Di1,2...n.

解:

 

2.求下列向量组的秩和一个极大无关组,并将α1α2拓展成整个向量组的极大无关组。

α1=(1,0,-10),α2=(-12,01),α3=(-1, 4,-12),

α4=(0,055),α5=(0,112.

 

 

4分)

所以

2分),为一个极大无关组。(2分)

 

3.已知AB,求矩阵X使之满足AXXB.

解:3分)

 

1分)

3分 )

所以

1分)

 

4t的值,使下列方程组有解,并求其通解。 

       

解:因为

(3)

所以t=-1/2时方程组有解(1分)

又因为此时增广阵的秩为2,而未知量的个数为4。且据上可知x2,x4为自由未知量。(2分)所以方程组的通解为:

2分)

 

5.设, ,

(1)在复数域上求它们的公共根; (2)求它们在实数域上的标准分解式。

 

解:先做(2)。因为

     2分)

    2分)

在实数范围内不能再分解。所以上面两式即为实数范围内的标准分解式。

1)在复数范围,两式还可以再分解:

  3分)

易见两多项式在复数上的公共根为: 1分)

 

6.用非退化线性替换化下列二次型为标准型(要求写出线性替换)。

        

 

解:将二次型做如下变形:

4分)

      2分)

所以此时为所求标准型。(2分)

 

四、证明题(每小题8分,共16分)

1、  Ann≥2)级方阵,AA的伴随矩阵,证明:

(1)| A||A|n1. 

   (2)A可逆.| A-1||A|1.

 

证明:(1)若A 为奇异方阵,则(1)自然成立。(1分)现设 A 为非奇异方阵。

因为。两边同时作行列式运算,得:

       2分)

   因为 A 的阶数为n,所以上式为:

       

由于A为非奇异方阵,故:1分)

2)因为  1分)

两边同时作行列式  2分)

    A为可逆阵,得

所以1分)

 

2、已知向量组α1α2αs为某齐次线性方程组的一个基础解系,且

β1α1

β2α1α2

β3α1α2α3

………

βsα1α2αs

证明:向量组β1β2……βs也为该齐次线性方程组的一个基础解系

 

证明:显然。由上式可得

                      3分)

。所以它们等价。(1分)

因为基础解系线性无关,且两个向量组个数相等,所以也线性无关。(1分)

同时因为是基础解系可以表示出所有的解向量且与等价,所以也可以表示所有的解向量。(2分)

总之,向量组β1β2……βs也为该齐次线性方程组的一个基础解系。(1分)