高等代数1试卷
一、
填空题(每小题3分,共24分)
1.已知多项式f(x)=d(x) f1(x),g(x)=d(x) g1(x) 且(f(x),g(x))=d(x),则(f1(x),g1(x))= 1 .
2.当m,p,q适合 q=m,p+1+m2=0 条件时,有x2+mx-1|x3+px+q.
3.设A=,则A31+A32+A33= -18 .
4.设A为3级方阵,=,则= -2 .
5.已知向量组α1=(1,4,3),α2=(-2,3,1)α3=(-1,k,4)线性相关,则参数k= 7 .
6.设A=,A*是A的伴随矩阵,则(A*)-1= .
7.n级排列23…n1的逆序数为 n-1 .
8.设为分块矩阵,E为单位矩阵.且可逆.则 .
二、判断题(对的打√,错的打×,每小题2分,共12分)
1.若d(x)=u(x)
f(x)+v(x) g(x) 则d(x)|f(x)且d(x)|g(x) .
( )
2. 设A为n阶方阵,若|A|<0,则A为可逆矩阵。
(√ )
3.若向量组α1,α2,...,αm(m≥2)中每个向量都不能由其余向量的线性表示,则此向量组线性无关。 ( √ )
4.若A、B为n阶矩阵,且A≠O,B≠O,则有|AB|≠0. ( )
5.正定的二次型的矩阵合同于单位矩阵。
( √ )
6.设A,B均为对称阵,则AB为对称阵。
( )
三、计算题(每小题8分,共48分)
1.计算行列式D=,i=1,2,...,n.
解:
2.求下列向量组的秩和一个极大无关组,并将α1,α2拓展成整个向量组的极大无关组。
α1=(1,0,-1,0),α2=(-1,2,0,1),α3=(-1, 4,-1,2),
α4=(0,0,5,5),α5=(0,1,1,2).
(4分)
所以
(2分),为一个极大无关组。(2分)
3.已知A=,B=,求矩阵X使之满足AX=X+B.
解:(3分)
(1分)
(3分 )
所以
(1分)
4.求t的值,使下列方程组有解,并求其通解。
解:因为
(3分)
所以t=-1/2时方程组有解(1分)
又因为此时增广阵的秩为2,而未知量的个数为4。且据上可知x2,x4为自由未知量。(2分)所以方程组的通解为:
(2分)
5.设, ,
(1)在复数域上求它们的公共根; (2)求它们在实数域上的标准分解式。
解:先做(2)。因为
(2分)
(2分)
且在实数范围内不能再分解。所以上面两式即为实数范围内的标准分解式。
(1)在复数范围,两式还可以再分解:
(3分)
易见两多项式在复数上的公共根为:。 (1分)
6.用非退化线性替换化下列二次型为标准型(要求写出线性替换)。
解:将二次型做如下变形:
(4分)
令 即(2分)
所以此时为所求标准型。(2分)
四、证明题(每小题8分,共16分)
1、 设A为n(n≥2)级方阵,A*为A的伴随矩阵,证明:
(1)| A*|=|A|n-1.
(2)若A可逆.则| A-1|=|A|-1.
证明:(1)若A 为奇异方阵,则(1)自然成立。(1分)现设 A 为非奇异方阵。
因为。两边同时作行列式运算,得:
(2分)
因为 A 的阶数为n,所以上式为:
由于A为非奇异方阵,故:(1分)
(2)因为 (1分)
两边同时作行列式 (2分)
据A为可逆阵,得
所以(1分)
2、已知向量组α1,α2,…,αs为某齐次线性方程组的一个基础解系,且
β1=α1,
β2=α1+α2,
β3=α1+α2+α3,
………
βs=α1+α2+…+αs,
证明:向量组β1,β2,……,βs也为该齐次线性方程组的一个基础解系。
证明:显然。由上式可得
(3分)
故。所以它们等价。(1分)
因为基础解系线性无关,且两个向量组个数相等,所以也线性无关。(1分)
同时因为是基础解系可以表示出所有的解向量且与等价,所以也可以表示所有的解向量。(2分)
总之,向量组β1,β2,……,βs也为该齐次线性方程组的一个基础解系。(1分)