线性代数教学大纲

【课程编号】

  线性代数A

Linear  Algebra A

【学分】3           【参考学时】48

                     【编写】            【审    核】

一、大纲正文

（一）授课对象

     四年制工科本科电子信息工程、通信工程等专业。

（二）教学内容

1．行列式

    (1) 二、三阶行列式；(2) 全排列与逆序数； (3) n 阶行列式；（4）行列式的性质；（5）行列式按行（列）展开法则；（6）行列式计算  (7) 克拉默法则。

2．矩阵及其运算

    (1) 矩阵的概念； (2)矩阵的运算； (3) 逆矩阵； (4) 矩阵的分块。

3．矩阵的初等变换及线性方程组

    (1) 初等变换； (2)矩阵的秩； (3) 线性方程组解的判定定理； (4)初等矩阵。

4．向量组的线性相关性

    (1) n 维向量； (2) 向量组的线性相关性；（3）向量组的最大无关组； (4)向量空间； (5) 线性方程组解的结构。

5．相似矩阵及二次型

    （1）预备知识；(2) 特征值与特征向量； (3)相似矩阵； (4)实对称矩阵；（5）二次型；（6）配方法； (7) 二次型的正定性。

6．线性空间与线性变换

(1) 线性空间。 (2) 线性空间的维数、基与坐标； (3) 基变换及坐标变换公式； (4)线性变换；（6）线性变换的矩阵表示。

（三）教材及主要参考资料

1．同济大学数学教研室编 《线性代数》第三版,高等教育出版社。

2．喻德生，易青，郑华盛主编，线性代数学习引导  化学工业出版社，2003年8月。

3. 钱志强， 线性代数教学参考，中国致公出版社。    

二、大纲说明

（一）本课程的性质、地位和任务

线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，是理工科学生的一门重要的必修基础课程，该课程具有概念多、定理多、内容抽象而实例少的特点，具有较强的抽象性及逻辑性。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征值及特征向量等已经成为工程技术人员经常遇到的课题，因此该课程的地位及作用更显得重要。通过教学，使学生掌握该课程的基本理论和方法，掌握一定的代数证明技巧；培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识而奠定必要的数学基础。

（二）课程教学的基本要求

       通过本课程的学习，使学生获得工程技术中常用的矩阵方法及线性方程组、矩阵对角化、二次型等理论与有关的基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

1．行列式

    (1) 会求n元排列的逆序数，掌握排列的性质；（2）掌握二、三阶行列式的计算方法； (3) 深入理解n 阶行列式的定义；（4）掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式；（5）掌握行列式按行（列）展开法则； (6)掌握n 阶行列式的计算方法，能正确运用范德蒙行列式； (7) 理解克拉默法则，会用该法则判定线性方程组的存在性、唯一性及求出方程组的解。

2．矩阵及其运算

    (1) 理解矩阵的概念； (2)掌握单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、转置矩阵、伴随矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及他们的性质； （3）掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式及定理的证明； (4) 理解逆矩阵的概念，掌握逆阵的性质及其存在的充要条件，了解逆矩阵的运算规律，会用伴随矩阵求逆矩阵。 (5) 了解矩阵的分块法及分块矩阵的运算，了解分块矩阵的特点。

3．矩阵的初等变换及线性方程组

    (1) 掌握矩阵的初等变换的概念，了解初等变换的性质和矩阵等价的概念，掌握矩阵的阶梯型、最简型、标准型的特征及相关运用； (2)理解矩阵秩的概念并掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。 (3) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件，会用该定理判别方程组是否有非零解； (4)理解初等矩阵的定义，了解初等矩阵的性质及应用，会用初等变换求线性方程组通解的方法及逆矩阵；（5）了解本章主要定理的证明。

4．向量组的线性相关性

    (1) 理解n 维向量的概念。 (2) 理解向量组的线性相关性与线性无关的等概念；（3）掌握判断向量组线性相关与线性无关的常用方法； （4）掌握用矩阵表示向量组及用矩阵运算表示向量运算的方法；(5) 理解向量组最大无关组与向量组的秩的概念，并会矩阵的秩初等变换求向量组的秩和最大线性无关组； （6）理解本章的主要结论，并会证明相关问题；(7) 了解n 维向量空间及子空间，知道向量空间的基、维数、向量空间的结构，并会找一组相应的基； (8) 理解齐次线性方程组解的性质、基础解系、解的结构及通解等概念，理解非齐次线性方程组解的性质，通解以及解的结构，并会求解； (9) 掌握用初等变换求线性方程组基础解系和通解的方法；（10）理解本章主要定理的证明。

5．相似矩阵及二次型

    （1）了解向量的内积概念，知道向量的长度，向量之间的角度及正交，理解正交组的概念，掌握线性无关组化正交组的施密特正交化；(2) 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值及特征向量； (3)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件，会求对称矩阵的相似对角变换； (4)理解正交矩阵概念及性质；并能进行相应的证明；（5）理解实对称矩阵的特点及相应的结论 ；(6) 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的的概念，了解惯性定理；（7）掌握用正交变换法化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形； (8) 掌握二次型的正定性及其判别方法，矩阵的正定性及其判别法并能进行简单的证明。

6．线性空间与线性变换

    (1) 理解线性空间的定义及性质。 (2) 了解线性空间中维数、基与坐标的概念，掌握求给定线性空间的维数、基及坐标的方法； (3) 掌握线性空间中基变换及坐标变换公式；并能求解； (4) 理解过渡矩阵的概念，掌握求过渡矩阵的方法；（5）理解线性变换的定义及性质，掌握求线性变换的矩阵表示式的方法。

注：大纲内容按教学要求的不同，分为两个层次。必须使学生深入理解、牢固掌握、熟练应用的属较高要求，其概念、理论用“理解”一词表述，方法，运算用“掌握”一词表述。要求上低于前者，但也是教学中必不可少的内容，其概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。

    （三）与其它课程的联系与分工

    本课程是“数值分析”“离散数学”等课程的理论基础，在有关力学课程、大学物理及工科专业课程中有较多应用，同时也是今后工科研究生课程的重要基础课程。

（四）重点与难点

  1．行列式

重点：（1）n 阶行列式的定义及性质； (2)行列式的计算；（3）克拉姆法则及运用；

难点：（1）理解行列式的定义；（2）行列式按行（列）展开法则；（4）一般高阶行列式的计算。

2．矩阵及其运算

重点：（1） 矩阵及其运算；(2) 逆矩阵的求解；（3）矩阵可逆的条件；（4）分块矩阵的技巧运算。

难点：（1）逆矩阵及其求法；（2）分块矩阵。

3．矩阵的初等变换及线性方程组

重点：(1)初等变换的概念； (2)矩阵秩的概念； (3) 线性方程组解的充要条件； (4)初等矩阵；（5）用初等变换求解线性方程组。

难点：（1）初等矩阵及其应用；（2）定理的证明。

4．向量组的线性相关性

    重点：（1） 线性相关性；（2） 向量组的最大无关组及其秩。 （3）矩阵的秩。 （4）基础解系及通解；（5）线性方程组解的结构。

难点：（1）向量组线性相关性的概念及秩的概念；（2）向量组的秩及相关结论；（3）向量空间及向量空间的基和维数；（4）齐次线性方程组的基础解系；

（3）定理的证明及理解。

5．相似矩阵及二次型

重点：（1）矩阵的特征值与特征向量求法； (2)相似矩阵，矩阵对角化的充要条件； (3)正交变换法化二次型为标准形。 （4） 二次型及其矩阵的正定性及其判别方法。

难点：（1）判别矩阵对角化的方法；（2）正交变换的过程；（3）正定的判定。

6．线性空间与线性变换

重点：(1) 线性空间及子空间的定义； (2) 维数、基与坐标的概念及求法； (3)过渡矩阵的求法；（4）基变换及坐标变换公式； (5) 线性变换的定义及矩阵的求法 。

难点：（1）线性空间的理解；（2）基变换与坐标变换公式的求解；（2）线性变换的理解，线性变换的矩阵求法。

（五）习题要求

     1．行列式 ： 14-16个习题。

     2．矩阵及其运算：10-12个习题。

     3．矩阵的初等变换及线性方程组：16-18个习题。

     4．向量组的线性相关性：20-22个习题。

     5．相似矩阵及二次型：20-22个习题。

     6．线性空间与线性变换：16-18个习题。

（六）学时分配

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