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【课程编号】070038
数学分析3教学大纲 Mathematical Analysis 3 【学分】5 【学时】80 【编写】王卫东 【审核】易青 （一）授课对象 四年制本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。 （二）课程的性质和地位 本课程是大学本科数学与应用数学专业及信息与计算科学专业的一门学科基础必修课，在为数学专业设置的课程中占有非常重要的地位，它的任务是使学生获得极限理论、一元函数微积分学、无穷级数论、多元函数微积分学等方面的系统知识。本课程并为各门后继课程,如微分方程,复变函数,实变函数,概率论,大学物理等提供必需的基础知识和基本能力与思维方法的训练,为以后的学习,研究和应用打好基础。 （三）课程教学的目标 通过本课程的教学，使学生对本课程的重点内容有较深刻的理解，不仅为学习其它后继课程打下基础，同时也有助于培养学生的辩证唯物主义观点。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、论证方法，获得较熟练的运算技能和初步应用的能力。 （四）教学内容 16．多元函数的极限与连续 （1）平面点集（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。（2）平面点集的基本定理：闭域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。（3）二元函数与n 元函数概念。（4）二元函数的极限。累次极限。（5）二元函数的连续性。复合函数的连续性定理。（6）有界闭域上连续函数的性质：最大值最小值定理、一致连续性定理、介值定理。 重点：平面点集的基本定理。二元函数的极限。有界闭域上连续函数的性质。 难点：二元函数的极限。 17．多元函数微分学 （1）二元函数的可微性与全微分。偏导数及其几何意义。（2）可微性的条件。可微性的几何意义与应用。（3）复合函数的求导法则与复合函数的全微分。（4）方向导数与梯度。高阶偏导数。（5）中值定理与泰勒公式。（6）多元函数的极值及其求法。 注：在极值举例中可介绍“最小二乘法”。 重点：可微性的条件。复合函数的求导法则与复合函数的全微分。多元函数的极值及其求法。 难点：复合函数的求导法则与复合函数的全微分。 18．隐函数定理及其应用 （1）隐函数概念，隐函数存在与唯一性定理。隐函数求导举例。（2）隐函数组概念，隐函数组定理。反函数组与坐标变换。（3）隐函数（组）微分法的几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。（4）条件极值与拉格朗日乘数法。 重点：隐函数存在与唯一性定理。隐函数（组）微分法的几何应用。 难点：隐函数（组）微分法的几何应用。 19．含参量积分 （1）含参量正常积分。 （2）含参量反常积分。（3）一致收敛定义及判别法。（4）含参量反常积分性质。（5）欧拉积分——Γ函数与Β 函数，Γ函数与Β函数之间的关系。 重点：含参量反常积分。一致收敛定义及判别法。含参量反常积分性质。 难点：欧拉积分。 20．曲线积分 （1）第一型曲线积分概念及计算。（2）第二型曲线积分概念及计算。（3）两类曲线积分的联系。 重点：第一型曲线积分概念及计算。第二型曲线积分概念及计算。 难点：两类曲线积分的联系。 21．重积分 （1） 二重积分的定义、性质与二重积分的可积条件。（2）二重积分的计算（化为累次积分计算）。（3）二重积分的换元法（极坐标变换与一般坐标变换）。（4）格林公式、曲线积分与路径无关性,三重积分的定义与计算（化为累次积分计算）。（5）三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。（6）重积分的应用（曲面面积、重心、转动惯量）,n重积分。 重点：二重积分的定义。 二重积分的计算（化为累次积分计算）。格林公式。 难点：格林公式。n重积分。 22．曲面积分 （1）第一型曲面积分概念与计算。 （2）第二型曲面积分的概念与计算。（3）两类曲面积分之间的联系。 （4）高斯公式与斯托克斯公式,场论初步。 重点：第一型曲面积分概念与计算。第二型曲面积分的概念与计算。高斯公式。 难点：第二型曲面积分的概念与计算。
（五）教学实践环节安排
（六）教学方式与习题要求 采用启发式教学方式。黑板板书教学。本课程对习题的要求分两部分，一部分是学生在习题课内要完成的课内习题，一部分是每次授课之后要完成有课外作业（习题）。课内习题是根据各次习题课内容而安排给学生当堂完成的，一次布置3-4道习题；每次授课之后布置一次课外作业题，一般为4-5道题。根据本门课程特点和教学要求，论证性的习题应占一定比例，以有利于培养学生分析和解决问题的能力。作业批改量为1/3。
（七）考核办法 采用平时成绩和期末考试相结合，来进行考核。平时成绩包括平时的作业情况和上课表现。期末考试采用闭卷。一般平时成绩占20%，期末考试卷面成绩占80%。 （八）推荐教材或讲义及主要参考书 1. 华东师大数学系编：《数学分析》,高教出版社,2001年6月第3版. 2. P.M.菲赫.金哥尔茨：《微积分学教程》(第一卷至第三卷)人民教育出版社,1978. 3. 吉米多维其：《数学分析习题集》,李荣冻译,人民教育出版社,1982. 4. W.Rudin：《数学分析原理》(中译本),赵慈庚等译, 人民教育出版社,1979. 5. 宋国柱编：《分析中的基本定理和典型方法》,科学出版社,2004.5.
（九）学时分配
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