【课程编号】070036　　

 数学分析1教学大纲

　　  　Mathematical Analysis 1

【学分】16            【学时】96

【编写】王卫东        【审核】易青　　

（一）授课对象 　　　　　　　　　　　　　

四年制本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。

（二）课程的性质和地位

本课程是大学本科数学与应用数学专业及信息与计算科学专业的一门学科基础必修课，在为数学专业设置的课程中占有非常重要的地位，它的任务是使学生获得极限理论、一元函数微积分学、无穷级数论、多元函数微积分学等方面的系统知识。本课程并为各门后继课程,如微分方程,复变函数,实变函数,概率论,大学物理等提供必需的基础知识和基本能力和思维方法的训练,为以后的学习,研究和应用打好基础。

（三）课程教学的目标

通过本课程的教学，使学生对本课程的重点内容有较深刻的理解，不仅为学习其它后继课程打下基础，同时也有助于培养学生的辩证唯物主义观点。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、论证方法，获得较熟练的运算技能和初步应用的能力。

（四）教学内容

1．函数

（1）实数及其性质，绝对值与不等式。（2）区间与邻域。确界原理。（3）函数概念、函数的四则运算、复合函数、反函数、反函数。初等函数。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数）。

重点：确界原理。复合函数。初等函数。

难点：确界原理。

2．数列极限

（1）数列极限的“ε―N”定义，无穷小数列。（2）收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性与迫敛性等。数列极限的四则运算法则。（3）数列的子列及收敛性。有界单调数列极限存在定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则。重要极限存在性的证明。

重点：数列极限的“ε―N”定义。有界单调数列极限存在定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则。

难点：数列极限的“ε―N”定义，

3．函数极限

     （1）自变量x趋向于无穷大时函数极限的定义（“ε­M”定义），x 趋向于某个定数时函数极限的定义（“ε­δ”定义）。函数的单侧极限的概念及其与函数极限之间的关系。（2）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性。函数极限的四则运算法则。（3）函数极限存在的柯西准则。（3）两个重要极限：，。无穷小量与无穷大量，无穷小量的比较。

重点：函数极限的“ε­δ”定义。函数极限的性质。函数极限存在的柯西准则。

难点：函数极限存在的柯西准则。

4．函数的连续性

  （1）函数在一点的连续性。单侧连续性。函数的间断点及其分类。函数在区间上的连续性。（2）连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性。（3）四则运算法则及复合函数的连续性。反函数的连续性，指数函数的连续性。初等函数的连续性。（4）闭区间上连续函数的性质：最大值、最小值定理，介值定理和一致连续性定理。反函数的连续性，指数函数的连续性。初等函数的连续性。

重点：连续的定义。函数的间断点及其分类。介值定理和一致连续性定理。闭区间上连续函数的性质。

难点：介值定理和一致连续性定理。

5．导数与微分

（1）函数在一点可导与函数在一点的导数的定义，单侧导数，可导与连续的关系，导数的几何意义。函数在区间上可导与导函数。（2）求导法则：函数四则运算求导法则，反函数求导法则，复合函数求导法则。由参量方程所确定的函数的导数。高阶导数。基本初等函数的导数公式。（3）微分概念，微分的几何意义。微分的运算法则，一阶微分形式的不变性。微分在近似计算中的应用。

重点：导数的定义。求导法则。微分概念。

难点：复合函数求导法则。

6．微分中值定理及其应用

（1） 费马（Fermat）定理、罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西中值定理。（2）型与型不定式极限的罗比塔（L’Hospital）法则，其它不定式极限求法举例。（3）泰勒（Taylor）定理，带拉格朗日型余项与皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式及马克劳林（Maclaurin）公式，它们在近似计算与不定式极限中的某些应用。（4）函数单调性的判定，极值、最大值与最小值。（5）函数的凸性与拐点。（6）函数图形的描绘。

重点：罗尔（Rolle）定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。罗比塔（L’Hospital）法则。极值。

难点：拉格朗日（Lagrange）中值定理。带拉格朗日型余项与皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式。

7．实数完备性

（1）实数完备性的基本定理：区间套定理、维尔斯特拉斯（Weierstrass）聚点定理、海涅一波莱尔（Heine-Borel）有限复盖定理。（2）数列的柯西收敛准则的证明，闭区间上连续函数性质的证明。

重点：区间套定理。聚点定理。有限复盖定理。

难点：柯西收敛准则的证明。

（五）教学实践环节安排

本课程对习题的要求分两部分，一部分是学生在习题课内要完成的课内习题，一部分是每次授课之后要完成的课外作业（习题）。课内习题是根据各次习题课内容而安排给学生当堂完成的，一次布置3-4道习题；每次授课之后布置一次课外作业题，一般为4-5道题。根据本门课程特点和教学要求，论证性的习题应占一定比例，以有利于培养学生分析和解决问题的能力。

（六）教学方式与习题要求

采用启发式教学方式。黑板板书教学。本课程对习题的要求分两部分，一部分是学生在习题课内要完成的课内习题，一部分是每次授课之后要完成的课外作业（习题）。课内习题是根据各次习题课内容而安排给学生当堂完成的，一次布置3-4道习题；每次授课之后布置一次课外作业题，一般为4-5道题。根据本门课程特点和教学要求，论证性的习题应占一定比例，以有利于培养学生分析和解决问题的能力。作业批改量为1/3。

（七）考核办法

采用平时成绩和期末考试相结合，来进行考核。平时成绩包括平时的作业情况和上课表现。期末考试采用闭卷。一般,平时成绩占20%，期末考试卷面成绩占80%。

（八）推荐教材或讲义及主要参考书

1.  华东师大数学系编：《数学分析》,高教出版社,2001年6月第3版.

2.  P.M.菲赫.金哥尔茨：《微积分学教程》(第一卷至第三卷)，人民教育出版社,1978.

3.  吉米多维奇：《数学分析习题集》李荣冻译,人民教育出版社,1982.

4.  W.Rudin：《数学分析原理》(中译本),赵慈庚等译, 人民教育出版社,1979.

5.  宋国柱编：《分析中的基本定理和典型方法》,科学出版社,2004.5.

（九）学时分配

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