近世代数教学大纲

【课程编号】

【学分】3.5          【参考学时】56

【编写】             【审    核】

（一）授课对象

四年制本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。

（二）课程的性质与地位

近世代数是学科基础必修课。它是一门非常抽象的数学类课程，也是一门十分活跃又发展迅速的学科。近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。

    集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。对于信息专业的学生，有了扎实的近世代数的理论基础，才能进一步学好《信息论与编码》、《密码学》等课程。

（三）课程教学的目标

通过本课程的学习，同学们应达到如下要求：熟悉群的定义，理解并能判断单位元、逆元；了解群与消去律的关系，能熟练掌握群与阶的关系，会计算元素的周期；理解群同构、同态的定义，理解同态核的定义与作用，掌握并能运用群的同态基本定理；掌握循环群的定义和生成元的特点。了解变换群与置换群的定义和性质；了解子群的定义，掌握群的子集成为群的判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系。掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理；理解正规子群的定义，能掌握其判断方法，理解商群的定义，了解其意义及其应用；了解有限群的结构，了解Sylow子群的定义与存在性，掌握有限交换群的结构定理，从而能给出任一阶数有限的交换群的结构分类；了解G-集的概念。

熟悉环的定义，环中运算的运算规则；熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用，掌握消去律与零因子的关系； 掌握环的分类并理顺它们的关系；熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质；理解子环的定义，了解同态、同构环之间的性质；了解多项式形式环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数的作用；了解分式域的构造；理解理想的构成与判断的方法；了解在同态映射下的两个环相互之间的关系、性质；理解什么是素理想与极大理想并能判断；掌握无零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理；了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中非零元有真因子的充分而且必要的条件；知道唯一分解环、主理想整环与欧氏环的定义、性质与相互之间的关系，以及公因子、最大公因子的概念和定理。理解判别唯一分解环的方法。了解模的概念。

理解域的特征，扩域的概念，理解并能判断代数元、超越元；掌握分裂域的构造，了解分裂域的唯一性；掌握有限域的结构与构造，理解有限域的子域的元素个数；理解单扩域的结构与构造，了解有限扩域与单扩域的关系；理解正规扩域的概念，了解正规扩域与分裂域的关系。

（四）教学内容

1．群论

（1）群的定义，单位元、逆元，群的阶、元素的阶；

（2）常见的群（如循环群、交换群、变换群、置换群）的结构；

   （3）子群、生成的子群、子群的陪集、Lagrange定理；

   （4）正规子群与商群；

   （5）群的同态与同构；

（6）有限群的结构、sylow子群，有限交换群的结构；

   （7）群的表示：G-集。

重点：群与子群的概念、正规子群与商群、群同态的证明。

难点：置换群与变换群、商群的构造、sylow子群。

2．环、域与模

（1）环与域的定义，负元、零元及其性质，环的分类；

（2）子环、理想与商环；

（3）环的同态与同构； 

（4）环的构造：分式环；

（5）多项式环：形式环与函数环；
  （6）交换环的素理想与极大理想；

（7）整环及其整除理论，唯一分解整环；

（8）环的表示：模。

重点：环的概念分类、理想与商环的结构、环同态的证明、唯一分解整环的判断。

难点：商环、素元与既约元的概念与判断、素理想与极大理想的判断。

3．多项式的分裂域

（1）域、素域、扩域的基本概念；

（2）多项式的分裂域；

（3）有限域的构造与结构，有限域的子域；

（4）正规扩域；

（5）Galois基本定理；

（6）有限域的基本应用：编码。

重点：扩域的概念、单代数扩域的结构，分裂域的构造，有限域的结构与构造。

难点：有限域的构造、正规扩域。

（五）教学实践环节安排

     无

（六）教学方式与习题要求

    采用启发式教育。

近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，适当布置习题是必要的，但为克服做习题的困难，也应适当的上点习题课。习题的重点应放在判断基本的代数结构、分析商群与商环的结构及表示方法、证明简单的同态与同构等方面。习题批改至少三分之一以上。

（七）考核办法

    采用闭卷考试的方法考核。总评成绩中平时成绩占20%、期末考试占80%。

（八）推荐教材或讲义及主要参考书

1．刘绍学编：《近世代数基础》，高等教育出版社，1999年；

2．吴品三编：《近世代数》，高等教育出版社，1979年；

3．[荷]范德瓦尔登著，丁石孙、曾肯成、郝炳新译：《代数学I》，科学出版社，1978年。

（九）学时分配

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