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<<返回综合资料 高等数学2教学大纲 【课程编号】 高等数学A2 Advanced Mathematics A2 【学分】 6 【参考学时】96 【编写】 【审 核】 一、大纲正文 （一）授课对象 四年制工科本科电子信息工程、通讯工程、计算机科学与技术、网络工程、软件工程、测控技术与仪器、电子科学与技术、生物医学工程、自动化、信息管理与信息系统等专业。 （二）教学内容 1、多元函数微分学 （1）多元函数：区域。多元函数的定义。二元函数的极限与连续性。有界闭区域上连续函数性质的叙述。 （2）偏导数与全微分：偏导数的定义。二元函数偏导数的几何意义。高阶偏导数。二阶混合偏导数可以交换求导次序的充分条件。全微分的定义，可微与可偏导的关系。全微分存在的条件。多元复合函数的求导法则。隐函数的求导公式（一个方程和方程组的情形）。方向导数，梯度。 （3）偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面。曲面的切平面与法线。多元函数的极值及其求法。条件极值与拉格朗日乘数法。最大值、最小值问题。 2、多元函数积分学 （1）重积分：二重积分的定义。二重积分存在定理的叙述。二重积分的性质。二重积分的计算法（直角坐标与极坐标）。三重积分的定义及其性质。三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标及球面坐标）。 （2）重积分的应用：二重积分在几何学中的应用（立体的体积、曲面的面积）。二重积分在物理学中的应用举例（平面薄片的重心、平面薄片的转动惯量、平面薄片对质点的引力）。 （3）曲线积分：对弧长的曲线积分的定义及其性质。对弧长的曲线积分的计算法。对坐标的曲线积分的定义及其性质。对坐标的曲线积分的计算法。两类曲线积分的联系。格林公式。平面曲线积分与路径无关的条件。二元函数的全微分求积。 （4）曲面积分：对面积的曲面积分的定义及其性质，对面积的曲面积分的计算法。对坐标的曲面积分的定义及其性质，对坐标的曲面积分的计算法。两类曲面积分的联系。高斯公式。斯托克斯公式。通量与散度。环流量与旋度。沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件。空间曲线积分与路径无关的条件。 3、无穷级数 （1）常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义。无穷级数收敛的必要条件。几何级数、调和级数与p级数。正项级数的比较审敛法及其极限形式。正项级数的比值审敛法、根值审敛法和极限审敛法。交错级数，莱布尼兹定理。绝对收敛与条件收敛。
（2）幂级数：函数项级数及其收敛域。幂级数的概念。阿贝尔定理。幂级数的收敛半径与收敛区间。幂级数的四则运算。和函数的连续性。幂级数的逐项微分与逐项积分。泰勒级数。函数展开为泰勒级数的充要条件。函数
（3）傅立叶级数：三角级数。三角函数系的正交性。傅立叶系数计算公式，函数展开成傅立叶级数。收敛定理（狄利克雷充分条件）。奇函数与偶函数的傅立叶级数。函数展开成正弦级数或余弦级数。周期为2 4、常微分方程 （1）微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解。 （2）一阶微分方程：可分离变量的微分方程。齐次方程。一阶线性微分方程。贝努利方程。全微分方程。用变量代换法解一阶微分方程举例。 （3）可降阶的高阶微分方程： （4）高阶线性微分方程：线性微分方程的解的结构。常数变易法。二阶常系数齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程。欧拉方程。微分方程的幂级数解法。 （三）教材及主要参考资料 1、同济大学应用数学系主编，《高等数学》（第五版下册），高等教育出版社，2002年7月。 2、喻德生、郑华盛主编，《高等数学学习引导》（第二版），化学工业出版社，2003年8月。 二、大纲说明 （一）本课程的性质、地位和任务 本课程是高等工科院校电类各专业重要的基础理论课。通过这门课程的学习，使学生系统地获得多元函数微积分、无穷级数与常微分方程的基本知识、基本理论和基本方法。培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力及自学能力。从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、力学和物理等实际问题的初步训练。为学好后继的数学课程及专业课程奠定必要的数学基础。 （二）课程教学的基本要求 1、多元函数微分学 知道平面点集和n维空间的有关概念，知道多元函数、多元函数的极限和多元函数连续的概念。了解二元函数、二元函数极限、二元函数连续、二元函数的间断点的概念。知道多元函数在有界闭区域上的有界性，最大值最小值定理和介值定理。理解偏导数与偏导数的几何意义。了解高阶偏导数的定义，知道二阶混合偏导数相等的充分条件。理解全微分的定义，可微、可导与连续之间的关系，了解全微分形式的不变性。掌握多元复合函数的求导法则，会求多元复合函数的一、二阶偏导数。了解方程和方程组所定的隐函数存在定理的条件与结论，会求方程和方程组所定隐函数的的导数。会求空间曲线的切线与法平面的方程，曲面的切平面与法线的方程。了解方向导数与梯度的概念以及导数、方向导数和梯度之间的联系，会求用偏导数求函数的方向导数和梯度。了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值、条件极值和最值的求法。 2、多元函数积分学 理解二重积分的概念与性质，掌握二重积分在直角坐标系和极坐标下的计算方法，了解二重积分的换元法。了解三重积分的概念与性质，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算方法。了解重积分在求曲面面积、空间立体体积、质心、转动惯量与引力中的应用。理解对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的概念与性质，了解对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的物理意义，掌握对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的计算方法。知道两种曲线积分之间的关联系。熟练掌握格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，和二元函数的全微分求积。理解对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的概念与性质，了解对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的物理意义，掌握对面积曲面积分和对坐标的曲面积分的计算方法。熟练掌握高斯公式。了解沿任意闭曲面积分为零的条件，通量与散度的概念。了解斯托克斯公式，知道环流量与旋度的概念。 3、无穷级数 理解常数项级数的基本概念与性质，级数收敛的必要条件。理解正项级数的概念与正项级数收敛的充分必要条件，掌握正项级数收敛与发散的比较审敛法和极限审敛法，熟练掌握正项级数收敛与发散的比值审敛法和根值审敛法。了解交错级数的概念，掌握莱布尼茨定理。理解绝对收敛与条件收敛的概念，收敛与绝对收敛之间的关系。了解函数项级数、幂级数的基本概念，熟练掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法。了解幂级数的四则运算性质，掌握幂级数的分析性质。了解函数能展开成泰勒级数的充分必要条件，会求函数的幂级数展开式。了解幂级数在近似计算中的应用，知道欧拉公式。了解三角级数的概念与三角函数系的正交性，函数展开成傅立叶级数的迪利克雷条件。掌握函数展开成傅立叶级数、正弦级数、余弦级数的方法。了解一般周期函数的傅立叶展开式。 4、常微分方程 了解常微分方程的基本概念。熟练掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的解法。掌握齐次方程、伯努利方程、全微分方程和可降阶的微分方程的解法。理解线性微分方程的解的结构，熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。掌握欧拉方程的解法，了解微分方程的幂级数解法。 （三）与其它课程的联系与分工 本课程是高等工科院校电类专业学生学习其它课程的基础。本课程针对多元函数微积分的基本理论、基本方法和基本技能的学习和训练，而其它课程侧重于本课程的基本知识、基本理论和基本方法的具体应用。它以高等数学1的知识为基础，又是学习后续数学课程（如概率论与数理统计、复变函数、数理方程等）和专业课程的基础。 （四）重点和难点 1、多元函数微分学 重点：多元函数的定义。偏导数的定义与计算。偏导数的几何应用。全微分的定义。多元复合函数的求导公式。多元函数的极值及其求法。 难点：全微分的定义。全微分形式不变性。多元复合函数的求导法则。方程组情形的隐函数求导法。条件极限值与拉格朗日乘数法。 2、多元函数积分学 重点：二重积分的定义。二重积分的计算法。三重积分的计算法。二重积分的几何应用。曲线积分的概念及其计算法。格林公式。平面曲线积分与路径无关的条件。二元函数的全微分求积。曲面积分的概念及其计算法。高斯公式。 难点：利用极坐标计算二重积分。利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分。对坐标的曲线积分的计算法。格林公式。二元函数的全微分求积。对坐标的曲面积分的计算法。高斯公式。斯托克斯公式。 3、无穷级数 重点：无穷级数收敛与发散的定义。无穷级数的基本性质。正项级数的比较审敛法及其极限形式、比值审敛法和根值审敛法。莱布尼兹定理。级数的绝对收敛与条件收敛。幂级数的收敛半径与收敛区间。函数展成幂级数的间接展开法。函数展开成傅立叶级数。 难点：正项级数的比较审敛法。莱布尼兹定理。幂级数的和函数。 4、常微分方程 重点：微分方程的定义。微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解。可分离变量的一阶微分方程。一阶线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。 难点：全微分方程。齐次方程，伯努利方程。二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。 （五）习题要求 1、多元函数微分学 要求学生完成作业80-100题。其中，概念题5%，证明题10%，计算题85%。 2、多元函数积分学 要求学生完成作业130-150题，其中，概念题2%，证明题8%，计算题90%。 3、无穷级数 要求学生完成作业80-100题，其中，概念题5%，证明题10%，计算题85%。 4、常微分方程 要求学生完成作业80-100题，其中，概念题5%，证明题5%，计算题90%。 （六）学时分配
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