高等数学1教学大纲

【课程编号】

高等数学1

Advanced Mathematics 1

          【学分】 6           【参考学时】96

          【编写】             【审  核】

一、大纲正文

（一）授课对象

    四年制工科本科焊接技术与工程、材料成型及控制工程、高分子与材料工程、金属材料工程、材料化学、应用化学、环境工程、飞行器设计与工程、飞行器制造工程、飞行器动力工程、机械设计制造及自动化、电子信息工程、通讯工程、计算机科学与技术、网络工程、软件工程、测控技术与仪器、电子科学与技术、生物医学工程、自动化、信息管理与信息系统、工程管理、土木工程、教育技术学等专业。

（二）教学内容

1、函数、极限、连续

    函数：函数的定义。函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。反函数及其图形。复合函数。基本初等函数、初等函数。分段函数。双曲函数与反双曲函数。 

极限：数列极限的ε-N定义。收敛数列的性质（极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列的关系）。函数极限的ε­δ定义、ε­X定义。函数的左、右极限。函数极限的局部保号性。无穷小与无穷大的定义。无穷小与函数极限的关系。无穷小的运算性质。无穷小的比较。极限的四则运算法则与复合函数极限的运算法则。极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。两个重要极限。

  函数的连续性：函数在一点连续的三种等价定义（的定义）,函数的左连续与右连续。函数的间断点及分类。连续函数的和、差、积、商的连续性。反函数与复合函数的连续性。基本初等函数与初等函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质：最大值最小值定理、介值定理。

2、一元函数微分学

    导数与微分：导数的定义，导数的几何意义。平面曲线的切线与法线。函数的可导性与连续性之间的关系。函数的和、差、积、商的导数。反函数的导数，复合函数的导数。基本初等函数的导数公式。初等函数的求导问题。高阶导数。隐函数的一、二阶导数。由参数方程所确定的函数的一、二阶导数。对数求导法。相关变化率。微分的定义，微分的几何意义。基本初等函数的微分公式，微分运算法则，微分形式不变性。微分在近似计算中的应用。

    微分中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。罗必达法则。泰勒中值定理和麦克劳林公式。 

导数的应用：函数单调性的判定法。函数的极值及其求法。最大值、最小值问题。曲线的凹凸性拐点，函数图形的描绘。弧微分，曲率与曲率半径。二分法与切线法。

3、一元函数积分学

    不定积分：原函数与不定积分的概念。不定积分的性质。基本积分公式。换元积分法与分部积分法。几种特殊类型函数的积分。积分表的使用。

    定积分：定积分的定义。定积分存在定理的叙述。定积分的性质。定积分的中值定理与平均值。积分上限的函数及其求导定理。牛顿——莱布尼公式。定积分的换元积分法与分部积分。反常积分。

定积分的应用：定积分的元素法。定积分在几何学中的应用（面积、弧长、平行截面面积为已知的立体的体积及旋转体的体积）。定积分在物理学中的应用（功、水压力、引力）。

4、向量代数与空间解析几何

    向量代数：空间直角坐标系。向量的基本概念。向量的分解与向量的坐标。方向余弦与方向数。投影定理。向量的线性运算，向量积、混合积。两向量的夹角。两向量平行与垂直的条件。

平面与直线：平面方程（点法式、一般式、截距式）。两平面的夹角。两平面平行与垂直的条件。点到平面的距离。空间直线方程（一般式、点向式、参数式）。两直线的夹角。两直线平行与垂直的条件。直线与平面的夹角及交点。直线与平面平行、垂直的条件。平面束方程。  

曲面与空间曲线：曲面方程的概念。球面方程。旋转曲面的方程（包括圆锥面）。母线平行于坐标轴的柱面方程。空间曲线的方程（一般式、参数式）。空间曲线在坐标面上的投影。椭球面，抛物面，双曲面。

（三）教材及主要参考资料

1、  同济大学应用数学系主编，《高等数学》（第五版上册），高等教育出版社，2002年7月。

    2、喻德生、郑华盛主编，《高等数学学习引导》（第二版），化学工业出版社，2003年8月。

二、大纲说明

（一）本课程的性质、地位和任务

    本课程是高等工科院校各专业重要的基础理论课。通过这门课程的学习，使学生系统地获得一元微积分和向量代数与空间解析几何的基本知识、基础理论和基本方法。培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力及自学能力。从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、力学和物理等实际问题的初步训练。为学好后继的数学课程及专业课程的学习奠定必要的数学基础。

（二）课程教学的基本要求

1、函数、极限、连续

理解函数的概念与性质，了解分段函数、复合函数和初等函数。了解数列的定义、函数极限的和定义以及这些定义的几何意义，了解数列极限、函数极限的性质。理解无穷小的概念与性质，极限与无穷小之间的关系。了解无穷大的定义、无穷大与无穷小之间的关系。熟练掌握极限的四则运算性质，了解极限存在的单调有界准则和佳逼准则。掌握无穷小的比较和两个重要极限，会用左、右极限求函数在分段点处的极限。理解函数在一点连续的三种等价形式的定义，会求函数的间断点并会判断间断点的类型，会用左、右连续判断函数在分段点处的连续性。了解连续函数的四则运算性质，了解反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数有界性、最值定理、零点定理和介值定理。

2、一元函数微分学

理解导数与微分的概念，导数与微分的几何意义，会求曲线的切线与法线。了解连续与可导、可导与可微之间的关系。熟记基本初等函数的求导公式与微分公式，熟练掌握函数和、差、积、商的求导法则和微分法则，复合函数的求导法则和微分法则。掌握反函数的求导法则，掌握隐函数与由参数方程所确定的函数的求导法。了解高阶导数的概念以及高阶导数的运算性质，会求函数的二阶导数和一些函数的n阶导数。会求相关变化率，会用微分进行近似计算。

掌握罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，会用构造函数法证题。知道洛必达法则的证明，会用洛必达法则求未定式的极限。知道泰勒中值定理的证明，熟记几个常见函数的麦克劳林展开式，会求一些函数的泰勒展开式和麦克劳林展开式。会用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间。了解曲线凹凸与拐点的定义，会求曲线的凹凸区间与拐点。理解函数极值的概念，会求函数的极值，会求解一些问题的最值应用题。会描绘一些函数的图形。了解弧微分、曲率、曲率半径的概念，会求曲线的曲率与曲率半径。知道方程的近似解解法大意。

3、一元函数积分学

理解原函数和不定积分的概念与性质，熟记基本初等函数的不定积分公式。理解定积分的概念与性质，理解积分上限函数的概念，会求积分上限函数的导数。熟练掌握不定积分、定积分的换元积分法和分部积分法。会求有理函数和一些可化为有理函数的积分。理解无限区间与无界函数的反常积分的概念，会求这两种类型的反常积分。了解定积分的元素法的思想，掌握定积分在求平面图形的面积、体积和弧长中的应用，了解定积分在求变力沿直线运动所作的功、水压力等中的应用。

4、向量代数与空间解析几何

理解向量的基本概念，掌握向量的线性运算。理解数量积、向量积的概念，以及这两个概念的几何、物理意义。掌握数量积、向量积运算性质。了解一般曲面的概念，会求旋转曲面和柱面的方程。知道空间曲线的一般方程、参数方程，以及空间曲线的投影柱面和在坐标面上的投影曲线。熟练掌握平面的点法式方程、一般方程和截距式方程，空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程。熟练掌握平面与平面、直线与平面、直线与直线间相互平行、相互垂直的判定。会求平面与平面、直线与平面、直线与直线之间的夹角，会求点到平面的距离。

（三）与其它课程的联系与分工

本课程是高等工科院校各专业学生学习其它课程的基础。本课程进行一元函数微积分和向量代数与空间解析几何基本理论、基本方法和基本技能的学习和训练，而其它课程侧重于本课程的基本知识、基本理论和基本方法的具体应用。它以中学数学知识为基础，又是学习后续数学课程（如高等数学A2、高等数学B2、概率论与数理统计、复变函数、数理方程等）和专业课程的基础。

（四）重点和难点

1、函数、极限、连续

    重点：函数的概念（包括复合函数与分段函数）。极限的概念。无穷小。极限的四则运算。函数极限的求法。函数的连续性及间断点的求法与分类。

    难点：复合函数、极限的定义（对ε­δ定义、ε­N定义等分析定义、主要是加强理解，具体求N或δ不作过高要求）。分段函数的连续性。函数间断点的求法与分类。

2、一元函数微分学

    重点：导数的概念，导数的几何意义。平面曲线的切线与法线。复合函数的导数。隐函数的导数的求法。由参数方程式所确定的函数的导数的求法。微分的概念。拉格朗日中值定理。洛必达法则。函数单调性判定法。函数的极值及其求法。最大值、最小值的求法及应用问题。

    难点：复合函数的导数。分段函数的导数。隐函数的导数。高阶导数和由参数方程所确定的函数的高阶导数。微分形式不变性。拉格朗日中值定理。泰勒公式。最大值、最小值的应用问题。

3、一元函数积分学 

    重点：原函数与不定积分的概念。基本积分公式。不定积分与定积分的换元积分法和分部积分法。定积分的定义。定积分的性质。定积分的中值定理。积分上限的函数及其求导定理。牛顿——莱克尼兹公式。定积分的元素法。定积分的几何应用。

    难点：定积分的定义。定积分的性质。定积分的换元积分法。积分上限的函数及其求导定理。定积分的元素法。定积分的物理应用。

4、向量代数与空间解析几何

    重点：向量的概念。向量的坐标。向量的数量积与向量积。平面的点法式方程。直线的对称式方程。曲面方程的概念。球面方程。母线平行于坐标轴的柱面方程。空间曲线的参数方程。空间曲线在坐标面上的投影。

    难点：向量的向量积。空间曲线在坐标面上的投影。

（五）习题要求

1、函数、极限、连续

    要求学生完成作业100-120题。其中，概念题10%，证明题10%，计算题80%。

2、一元函数微分学

    要求学生完成作业240-260题。其中，概念题10%，证明题10%，计算题80%。

3、一元函数积分学

    要求学生完成作业200-220题，其中，概念题2%，证明题8%，计算题90%。

4、向量代数与空间解析几何

    要求学生完成作业80-100题。其中，概念题2%，证明题8%，计算题90%。

（六）学时分配

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