高等代数2教学大纲

【课程编号】

高等代数2

Advanced  Algebra  2

    【学分】5         【参考学时】80

 【编写】      【审    核】

（一）授课对象

 四年制理科本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。

（二）课程的性质和地位

高等代数是数学与应用数学及信息与计算科学专业的一门重要基础课程，是中学代数的继续和提高，同时又是今后同学们进一步学习数学和应用数学的重要基础，而且还是本专业硕士入学考试的一门主要课程。它具有较强的抽象性与逻辑性，初学者往往感觉难学，需要教师加以正确的引导。通过教学，应使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（三）课程教学的目标

通过这一门课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的高等代数知识和抽象的、严格的高等代数方法，一方面加强对中学数学的理解，另一方面为进一步学习数学和应用数学解决实际问题打下基础，同时，培养学生的辩证唯物主义观点。

（四）教学内容

1．线性空间

线性空间是线性代数中第一个用公理化方法定义的抽象概念，是线性代数的中心内容。要求（1）理解线性空间的定义；（2）掌握有限维线性空间的基、维数、坐标的概念及求法；（3）理解子空间的交与和、直和；（4）了解有限维线性空间的同构。

重点：（1）线性空间的定义；（2）基、维数、坐标；（3）子空间及其交与和、直和；

（4）线性空间同构

难点：（1）线性空间的定义；（2）维数公式证明；（3）子空间的直和分解

2．线性变换

线性变换是线性代数研究的中心内容之一。要求（1）掌握线性变换的概念、运算及其性质；（2）掌握线性变换的矩阵表示，并会求该矩阵。（3）理解线性变换的值域与核、不变子空间概念。（4）掌握矩阵的特征值与特征向量求法；（5）掌握矩阵对角化的判定条件。

重点：（1）线性变换的定义及矩阵表示；（2）取定一组基、数域P上的n维线性空间的线性变换与n级矩阵之间的一一对应关系。（3）不变子空间的直和分解方法。

难点：线性变换的值域和核； 

3．-矩阵

λ-矩阵是定义在多项式环P [λ]上的矩阵。要求（1）了角λ-矩阵的概念；（2）掌握λ-矩阵的初等变换及等价概念；（3）理解λ-矩阵的等价标准形、行列式因子、不变因子、初等因子的概念及其相互联系，并会求解；（4）掌握求若当标准形的方法。

重点：（1）λ-矩阵的标准形；（2）两个λ-矩阵等价的充要条件；（3）两个同级矩阵相似的充要条件；（4）若当标准形的求法

难点：（1）λ-矩阵的标准形；（2）不变因子；（3）初等因子。

4．欧几里得空间

欧氏空间是定义了内积的实线性空间，它是线性代数中第二个用公理化方法定义的抽象概念。要求（1）掌握欧氏空间的概念；（2）会求欧氏空间的标准正交基。（3）理解正交变换与标准正交基之间的关系；（4）掌握正交矩阵的重要结论；（5）掌握实对称矩阵通过正交变换化对角矩阵的方法。

重点：（1）欧氏空间的定义；（2）标准正交基；（3）用正交变换化二次型为标准型；

（4）正交变换与对称变换。

难点：（1）欧氏空间的定义；（2）子空间的正交补及其唯一性；（3）正交变换及其几何意义。

5．双线性函数

双线性函数是代数中许多概念的推广和总结，它是更加抽象和广泛的概念。要求：1）掌握线性函数及双线性函数的定义；2）了解线性函数的表现形式；3）理解对偶空间的含义；4）了解双线性函数的分类及主要特征。

重点：（1）线性函数的表现形式；2）对偶空间的含义；3）双线性函数的定义；4）几种特殊的双线性函数及其特征。

难点：1）对偶空间的理解；2）度量矩阵；3）对称双线性函数的特征证明；4）反对称双线性函数的特征。

（五）教学方式与习题要求

    本课程适宜采用启发式教学方式，目前以板书教学方式为主；每次课后完成相应部分习题，约3-5题，教师批改应注意学生的解题方法。

（六）考核办法

     试卷考试

（七）推荐教材或讲义及主要参考书

2．北京大学几何与代数教研室编，《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。

3．张贤科、许甫华编著，《高等代数学》，清华大学出版社，1998年，第一版。

4．许甫华、张贤科编著《高等代数解题方法》，清华大学出版社，2001年，第一版。

（八）学时分配

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