高等代数1教学大纲

【课程编号】

高等代数1

 Advanced  Algebra  1

    【学分】4         【参考学时】64

   【编写】      【审    核】

（一）授课对象

 四年制本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。

（二）课程的性质和地位

高等代数是数学与应用数学及信息与计算科学专业的一门重要基础课程，是中学代数的继续和提高，同时又是今后同学们进一步学习数学和应用数学的重要基础，而且还是本专业硕士入学考试的一门主要课程。它具有较强的抽象性与逻辑性，初学者往往感觉难学，需要教师加以正确的引导。通过教学，应使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（三）课程教学的目标

通过这一门课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的高等代数知识和抽象的、严格的高等代数方法，一方面加强对中学数学的理解，另一方面为进一步学习数学和应用数学解决实际问题打下基础，同时，培养学生的辩证唯物主义观点。

（四）教学内容

1．多项式

多项式是代数学的基本概念之一，它的理论和方法是高等代数的一个重要组成部分，通过本章教学，要求（1）理解一元多项式的概念与运算。（2）掌握最大公因式的求法。（3）会计算简单的因式分解。（4）了解不同数域上的多项式的因式分解定理。（5）掌握有理系数多项式的不可约的的判定方法。（6）了解多元多项式的概念。

重点：（1）整除性质及带余除法；（2）最大公因式（包含互素）；（3）重因式判别法；（4）因式分解理论；（5）艾森斯坦因判别法，求有理系数多项式的有理根的方法。

难点：（1）最大公因式定义；（2）多项式整除、互素、不可约多项式等概念的联系与区别；（3）因式分解定理；（4）艾森斯坦因判别法的灵活应用。

2．行列式

行列式是线性代数的一个有力工具。通过本章学习，要求（1）理解行列式的定义和性质。（2）掌握行列式的计算方法。（3）会计算一般的n 阶行列式。(4)熟悉并掌握克拉默法则。

重点：（1）行列的定义、性质、计算方法；（2）克兰姆法则

难点：（1）行列式的定义；（2）行列式的计算方法。

3．线性方程组

线性方程组是线性代数的基本内容和不可缺少的有力工具。通过本章学习，要求（1）了解维向量空间的概念。（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义。（3）掌握有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。（4）理解矩阵秩的概念，并掌握其求法。（5）掌握方程组解的判定定理。（6）掌握方程组解的结构。（7）了解二元高次方程组的求解方法。

重点：（1）向量组的线性相关与线性无关；（2）矩阵的秩；（3）解线性方程组的消元法；（4）有解判别定理、（5）基础解系及解的结构。

难点：向量组的线性相关性。

4．矩阵

矩阵的理论和方法在线性代数中占着极其重要的地位，本章只介绍到矩阵的最基本

知识。要求（1））掌握矩阵及其运算的概念。（2）掌握矩阵求逆矩阵的方法。（3）理解矩阵的分块及运算。（4）理解初等矩阵的定义及性质。（5）了解分块矩阵的初等变换方法。（6）了解广义逆矩阵。

重点：（1）可逆矩阵的定义、判断和性质；（2）逆矩阵的求法；（3）分块矩阵的应用。

难点：（1）矩阵乘积的秩的证明；（2）分块矩阵的应用。

5．二次型

二次型是多元二次齐次多项式，要求（1）掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩

的概念。（2）理解二次型的标准形及规范型的概念。（3）会将二次型化为标准形及规范形。（4）掌握二次型的正定性及其判别法。（5）掌握有关矩阵正定的重要结论。

重点：（1）用非退化线性替换化二次型为标准形；（2）惯性定理；（3）正定二次型的判别定理。

难点：惯性定理的证明。

（五）教学方式与习题要求

本课程适宜采用启发式教学方式，目前以板书教学方式为主；每次课后完成相应部分习题，约3-5题，教师批改应注意学生的解题方法。

（六）考核办法

     试卷考试

（七）推荐教材或讲义及主要参考书

1．北京大学数学系编 《高等代数》,高等教育出版社，2003年第三版，第三版。

2．张贤科、许甫华编著《高等代数学》，清华大学出版社，1998年3月第一版。

4．许甫华、张贤科编著，《高等代数解题方法》，清华大学出版社，2001年9月第一版。

（八）学时分配

（九）与其它课程的联系与分工

 是“矩阵论”“近世代数”等课程的理论基础，在“信息论”、“离散数学”、“运筹学”等专业课中有较多应用。

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