数学悖论大集合
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【1】 我知我无知
概述：苏格拉底有句名言：“我只知道一件事，那就是我一无所知。”
这个说法本身就是悖论，展现了自我参照的表述（self-referential
statement）的复杂性。而这也是西方哲学先贤带给我们的重要启示：你得问你以为你知道的一切。越是问东问西、问长问短、打破砂锅问到底，越会发现身边正有一大波悖论呼啸而过。
脑洞：名人说话就是任性啊！
【2】 二分法悖论（dichotomy paradox）
概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。
古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。
那么究竟我们是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。
脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。
【3】 飞矢不动（arrow paradox）
概述：一根箭是不可能移动的。飞行过程中的任何瞬间，它都有一个暂时的位置，由此可知一枝动的箭是所有不动的集合。
芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”
“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。
脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。咳咳，安慰自己,飞矢不动，我没心动。
【4】 忒修斯之船（Ship of Theseus paradox）
概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？
基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯•霍布斯（Thomas
Hobbes）、约翰•洛克（John Locke）也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。
脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。所以名利去争神马？一切都是虚空。
【5】 托里拆利小号（Gabriel's Horn）
概述：体积有限的物体，表面积却可以无限。
17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利（Evangelista
Torricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了一种的小号状图形。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是
π。
脑洞：原来平胸不见得能为国家省布料。
【6】 理发师悖论（Russell's Paradox的别称）
概述：小城的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。”那么问题来了，理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺；如果他不给自己刮脸，就必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都说不通。
赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特•罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。
脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。
【7】 第二十二条军规（Catch-22）
概述：疯子才能获准免于飞行，但必须由本人提出申请；凡能意识到飞行有危险而提出免飞申请的，属头脑清醒者，应继续执行飞行任务。即“如果你能证明自己发疯，那就说明你没疯”，诸如此类。
《第二十二条军规》由约瑟夫•海勒（Joseph
Heller）根据自己在二战中的亲身经历创作。该书的主角为了逃避危险的作战任务而装疯，可逃避的愿望本身又证明了他的神志清醒。
Catch-22已成为英语词典中的常用词汇，用来形容自相矛盾的死循环，或是人们处于荒谬的两难之中。
脑洞：“一等奖：iPhone6 Plus”，但是“本商场拥有本次活动的最终解释权”。
【8】 饮酒悖论（drinking paradox）
概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件（material
conditional），对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。
“饮酒悖论”由于雷蒙德•斯穆里安（Raymond Smullyan）的书而出名，这本书的名字就叫《这本书叫什么名字》（What Is the Name of
this Book?）。
脑洞：干杯！您先喝，喝完我也喝了。
【9】 有趣数悖论（Interesting Number Paradox）
概述：1是非零的自然数，2是最小的质数，3是第一个奇质数,4是最小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。
于是，量子计算领域的研究猿纳撒尼尔•约翰斯（Nathaniel
Johnston）把这些有趣的整数定义为一个整体，并将这些整体排成序列，像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义，约翰斯在2009年6月的博客里提出，第一个没有出现在序列里的数字是11630。2013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的无趣数。
脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？
【10】 球与花瓶（Balls and Vase Problem）
概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？
答案千奇百怪。最直接的是无限个，也有数学家认为，每个球都会被取出来。逻辑学家詹姆斯•亨勒（James M. Henle）和托马斯•泰马祖科（Thomas
Tymoczko）提出花瓶里的球最终可以是任意数目，甚至有具体的构造方法。
1976 年谢尔登•罗斯（Sheldon Ross）在他的《概率论第一课》（A First Course in
Probability）介绍了这个问题，所以它被称为“罗斯•利特尔伍德悖论”（Ross-Littlewood Paradox）。
脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题烧脑终极版。
【11】 土豆悖论（potato paradox）
概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出水后干物质含2%，还剩98%的水分，它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质（dry
material），当还剩98%的水分时，1克将对应2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。
脑洞：理科生们笑到内伤。
【12】 生日悖论（birthday paradox）
概述：随机挑选一组人，其中就会有两人同一天生日。
用抽屉原理来计算，只要人群样本达到367，存在两人同天生日的可能性就能达到100%（一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日）。然而，如果只是达到99%的概率，只需要57个人；达到50%只需要23个人。这种结论的前提是一年中每天生日的概率相等，可怜的2月29日除外。
脑洞：颤抖吧人类！该方法已应用于常见的黑客密码攻击：生日攻击。
【13】 祖父悖论（bootstrap paradox）
概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？
祖父悖论看似杜绝了人为操纵命运的可能，过去无法改变，爷爷一定会在孙子的谋杀中幸存下来；还有种可能是，你进入了另一个平行宇宙，这是你从未生活过的世界，但你的爷爷奶奶却也在这里。
这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特•海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。
脑洞：如果你重返二战前，杀死希特勒，成功阻止了二战的爆发。然而，如果没有发生二战，回去刺杀希特勒的理由是什么？时间旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在质疑本身。
【14】 外星文明
概述：天文学的基本假设是，苍茫宇宙间，地球是一颗在平常不过的星球。NASA（美国宇航局）的开普勒卫星发现，银河系内很可能存在着110亿个类似地球的星球。
我们的文明是有声的，广播电视和无线电信号都是人为的。如果确实存在与地球相像的文明，我们应该有能力找到证据。
目前，因为错综复杂的原因，我们无法切实证明宇宙有其他文明。庞大的宇宙空间使沟通变得困难。尽管我们使用电磁波和外星联系，但由于电磁频谱极宽，我们无法确定外星人使用哪种频谱。再加上那些星球的文明发展度可能过高、过低，抑或是生活着与人类不同的生命形式，又大大降低了准确交流的可能。
脑洞：我们坚信来自星星的颖宝的存在！