第八次习题课
内容:第六章 (物理应用不考)
重点:微元法,定积分在几何上的应用。
难点:微元法,极坐标求面积。
专题1 定积分元素法的要点
1.被求的量有一个“不变”状态下的乘积表达式(前提);
2.确定被积变量(如x)与被积的范围;
3.给出一个被积变量增量很小时的所求量的微元(如f(x)dx);
4.利用极限的思想,写出积分表达式。
例1:一个长为a的不均匀细棒,其线密度为(x为到某一固定端点的距离)。求此细棒的质量。(答案:)
专题2 关于极坐标。
1.极坐标系:极点、极轴。极径,极角。
2.极坐标一般表示式:
3.极坐标的范围:无限制时:,
(对有周期的函数往往取它一个周期)它唯一受r的限制:。
如:1)故。
2),故。
4.常见的极坐标公式及其图形:
圆:或或
(a为半径)
心形线:
阿基米德螺线:
5.极坐标与直角坐标的转换:
极坐标直角坐标:
直角坐标极坐标:
如:1)化成
2)化成
6.极坐标的对称问题:
若,图形关于极轴对称。
若,图形关于极点对称。
如:心形线:关于极轴对称。
双纽线:关于极轴与极点均对称。
专题3:定积分的应用以及注意的问题
无论是几何应用或物理应用,其原理都是用元素法。
注意:以下所有的公式都是在标准的形式。对于具体问题,要学会变通!如果只会死套公式,学这一章就无意义了。
1.
求面积
注意:1)求面积关键要定出分界点以便分段以及上、下限对应的函数的大小。
定限方法:扫描定限:
直角坐标:横线竖扫,竖线横扫。
极坐标:射线旋转扫。
2)其次要考虑对x积分还是对y积分!
3)极坐标关键是要记住常见图形:圆、心形线,阿基米德螺线,的大致图形以及的范围。参数方程记住摆线、星形线即可。
A.直角坐标系下:
B.极坐标系下:
例2:(1)求由曲线与曲线所围成部分的面积。(答案:)
提示:
(2)(书280第4题)求抛物线及其在点(0,-3)和(3,0)处切线围成图形的面积。(答案见书后)
提示:(0,-3) 切线:
(3,0) 切线:
切线交点:
面积:
例3(1)(书280页8(1)题 )求曲线以及所围成公共部分的面积。
(答案:书后有)
提示:注意画图。
(2)圆被心形线分成两部分,求这两部分的面积。
(答案:,以及)
提示:为分界点。
2.
求体积
注意:1)这里只能求旋转体的体积以及界面面积已知的物体体积(一般物体的体积下学期学)。
2)要注意是绕哪个轴旋转。
3)对于稍微复杂的图形的旋转,可以用“投影法”……
例4:求由圆绕x轴旋转所围成的环体的体积。(答案:)
提示:
例5 分别求由曲线与直线x=a,x=
答案:(,)
提示:x轴:
Y轴:(用微元法、投影法均可)
例6
设有一个椎体,底面为椭圆。底面椭
圆的长半轴为2,短半轴为1,高为3求其体积。(答案:)
提示:
3.
求弧长
直角坐标下:
直角坐标参数方程下:
极坐标下:
例7(书282页27题)在摆线,上,求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。(答案:书后有答案 )
提示:设坐标对应参数为
例8 计算曲线的全长。
(答案:)
提示:注意的范围。
补充习题:
选择题
1.
已知与所围成图形面积为,则的值为 (
)
; ; ; ;
解 与的交点:
则,即得A。
2.由连续曲线。(这里
)及直线
所围成图形绕轴旋转一周所得的立体体积为
( )。
A.;
B.;
C.;
D.;
解: 答案是A
3.曲线与两坐标轴所围成图形面积为
( )。
A. ; B. ; C. ; D. ;
解 与两坐标轴的交点为:
则 。故填A
计算:
抛物线通过点两点,且确定的值,使抛物线与轴所围成图形面积为最小。
解抛物线过点 .
又过点,;
,,
;
将代入上式: ,
,得 (舍去),,
代入。
课后练习:
1.求抛物线及其在点()处的法线所围成的图形的面积。
2.由y=,x=2,y=0围成的图形,分别绕x轴与y轴旋转,分别求旋转体体积。
3.计算阿基米德螺线,对应于
到的一段弧对应极轴所围成的面积。
4. 求曲线自t=0至t=1的一段弧。