第六次习题课

 

内容:第四章

重点:不定积分的计算。

难点:凑微分法计算不定积分。

 

 

专题1 不定积分计算的方法与技巧

1.        基本公式法(较少见)

1

答案:

 

2.        凑微分法第一类换元法(优先考虑)

本质:原函数是复合函数。

   此类方法非常灵活。但是,也还是能找到一些普遍适用的规律,总结如下:

甲求导后得乙,

     无理变成有理,

三指凑成一类,

幂次化出整倍。

    此口诀也适用于第二类换元法与分部积分法。待到上课解释。

2 求下列不定积分

1 甲求导后得乙

     答案:

2 “无理变成有理”

     答案:+C

3  三角凑成一类”

     答案:

4   幂次化出整倍”

     答案:

5  “三角凑成一类”

    解:原式=

       (以下计算略)

答案:

 

6 

答案:

7

注:直接令t=不好。先凑微分再主动(第二类)换元。

答案:

 

(8) (指数也可以化成一类)

答案:

 

3.第二类换元法

   与第一类换元法不同,其原函数并非复合函数。是因为为了去根号等原因人为将自变量作为中间变量

   先对凑微分来说,第二类换元法较有规律,一般的原则是:

   1.型,令x=asint

   2.   x=atant

   3    x=asect

   4. 倒代换(少见):针对分母幂次较高的情形,可将分母的幂化为分子的幂。

   5.最小次幂代换:当出现不同次的根号时,直接用凑微分不易求时考虑用它。

   6.万能公式代换:能将三角被积函数化有理函数。(缺点是较繁琐,其它方法不灵时用)

    ……

注意:有的函数含有上面的形式的项,但是并不需要用第二类换元法。如:

       

 

3 求下列不定积分:

1  (注意最后的转化)

(答案:

2

(提示:令  x=2sintx=1/t,答案:1/2)

 3

 (提示:最小幂代换,令

4

(提示:最小幂代换,令 

 5(提示:万能公式置换)

答案:

 6

  提示:令,最后可以化幂函数。

 

4.分部积分法

   此方法被积函数往往是有两类函数相乘。其根据是函数乘法的导数公式。

   此方法归纳起来, 总结成一句话,就是“反对幂指三,前导后积莫乱来!”(前半句话每一个字表示一类初等函数。)

   分部积分的目的:1)对幂函数降幂最终消去幂函数;2)对反三角函数(对数函数)求导变成其它易积函数;3)循环求积分(往往针对三角函数;4)求递推式(少用)。

 

4:求下列不定积分

1  (“”与“”)

    答案:

2 (“”与“”)

  答案:

3    (“”与“”)

 4 (“”与“”)

答案:

5   (“”与“”)

答案:

6 (“”:可看成“幂”“对”

7  (“”:可看成幂与反)

8   (分部,降幂)

   答案:

 

5.有理函数的积分法(最后用此法)

   有理函数的积分一般方法没有什么技巧。在凑微分不灵时用。即使裂项,除了不得已之外,有时也可以避免待定系数。

 

5:求下列积分

1

提示:

2

     提示:

3

提示:

4

   提示:此题看来没法凑微分,也没什么好技巧。只好用常规方法。一般若待定系数3个以下就直接用比较方便。

补充题

选择题:

1. 若函数满足,则必有                                     

A

B 

C  

D

B

2. 对积分而言,下列答案中不正确的是                                        )。

A  

B.

C.          

 D                

选(D)。

 

3对积分而言,下列答案中不正确的是(  )。

    A

B

C

D.

  选(C)。

 

课后习题:

计算下列不定积分

12

3

(提示:先求

4 5

 6   7

8  (提示:先分子有理化)

9(提示:分部积分)

10

(提示:先凑再第二类换元)

11