第六次习题课

内容：第四章

重点：不定积分的计算。

难点：凑微分法计算不定积分。

专题1 不定积分计算的方法与技巧

1. 基本公式法（较少见）

例1

（答案：）

2. 凑微分法—第一类换元法（优先考虑）

本质：原函数是复合函数。

此类方法非常灵活。但是，也还是能找到一些普遍适用的规律，总结如下：

甲求导后得乙，

无理变成有理，

三指凑成一类，

幂次化出整倍。

此口诀也适用于第二类换元法与分部积分法。待到上课解释。

例2 求下列不定积分

（1） “甲求导后得乙”

答案：

（2） “无理变成有理”

答案：+C

（3） “三角凑成一类”

答案：

（4） “幂次化出整倍”

答案：

（5） “三角凑成一类”

解：原式=

（以下计算略）

答案：

（6）

答案：

（7）

注：直接令t=不好。先凑微分再主动（第二类）换元。

答案：

(8) （指数也可以化成一类）

答案：

3．第二类换元法

与第一类换元法不同，其原函数并非复合函数。是因为为了去根号等原因人为将自变量作为中间变量。

先对凑微分来说，第二类换元法较有规律，一般的原则是：

1.型，令x=asint

2. 型 令x=atant

3 型 令x=asect

4. 倒代换(少见)：针对分母幂次较高的情形，可将分母的幂化为分子的幂。

5．最小次幂代换：当出现不同次的根号时，直接用凑微分不易求时考虑用它。

6．万能公式代换：能将三角被积函数化有理函数。（缺点是较繁琐，其它方法不灵时用）

……

注意：有的函数含有上面的形式的项，但是并不需要用第二类换元法。如：

例3 求下列不定积分：

（1） （注意最后的转化）

（答案：）

（2）

（提示：令 或令x=2sint，或x=1/t，答案：1/2)

（3）

（提示：最小幂代换，令）

（4）

（提示：最小幂代换，令）

（5）（提示：万能公式置换）

答案：

（6）

提示：令,最后可以化幂函数。

4．分部积分法

此方法被积函数往往是有两类函数相乘。其根据是函数乘法的导数公式。

此方法归纳起来， 总结成一句话,就是“反对幂指三，前导后积莫乱来！”（前半句话每一个字表示一类初等函数。）

分部积分的目的：1）对幂函数降幂最终消去幂函数；2）对反三角函数（对数函数）求导变成其它易积函数；3）循环求积分（往往针对三角函数；4）求递推式（少用）。

例4：求下列不定积分

（1） （“对”与“幂”）

答案：

（2） （“幂”与“三”）

答案：

（3） （“指”与“三”）

（4） （“对”与“指”）

答案：

（5） （“幂”与“反”）

答案：

（6） （“对”：可看成“幂”与“对”）

（7） （“反”：可看成幂与反）

（8） （分部，降幂）

答案：

5．有理函数的积分法（最后用此法）

有理函数的积分一般方法没有什么技巧。在凑微分不灵时用。即使裂项，除了不得已之外，有时也可以避免待定系数。

例5：求下列积分

（1）

提示：

（2）

提示：

（3）

提示：

（4）

提示：此题看来没法凑微分，也没什么好技巧。只好用常规方法。一般若待定系数3个以下就直接用比较方便。

补充题

选择题：

1. 若函数与满足，则必有 （ ）

A．

B．

C．

D．。

选B

2. 对积分而言，下列答案中不正确的是 （ ）。

A．

B.

C.

D． 。

解 选（D）。

3．对积分而言，下列答案中不正确的是（ ）。

A．

B．

C．

D.。

解 选（C）。

课后习题：

计算下列不定积分

（1）（2）

（3）

（提示：先求）

（4） （5）

（6） （7）

（8） （提示：先分子有理化）

（9）（提示：分部积分）

（10）

（提示：先凑再第二类换元）

（11）